Exibir código-fonte para Função Gama de Euler

==Introdução==
A ''Função Gama'' (também designada por ''Função'' <math>\Gamma</math>) foi concebida pelo ilustríssimo físico, astrônomo e matemático suiço Leonhard P. [http://pt.wikipedia.ofg/wiki/Leonhard_Euler Euler] (1707 - 1783) para estender a noção de [http://pt.wikipedia.org/wiki/Fatorial fatorial] para números não-naturais. 
[[Arquivo:Euler.jpg|200px|thumb|right| O físico e matemático suiço Leonhard P. Euler.]]

==Construindo a Função Gama==
Consideremos o seguinte resultado, que decorre do Cálculo Integral Elementar:<br>
<math>\int\limits_0^\infty e^{-r}dr = -e^{-r}\Bigg|_0^\infty = 1\quad(1)</math> <br>
Introduzindo a mudança de variável <math>r = st</math> (que implica em <math> dr=tds </math>) na expressão acima, obtem-se: <br>
<math>\int\limits_0^\infty te^{-st}ds = 1 \Rightarrow \int\limits_0^\infty e^{-st}ds = \frac{1}{t}\quad(2)</math> <br>
Fazendo a derivada da expressão anterior em relação a t (servindo-se da regra de Leibniz para isso, consegue-se: <br>
<math>\frac{d}{dt} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds \right) = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{t}\right) \Rightarrow \int\limits_0^\infty \frac{\partial}{\partial t} \left(e^{-st}ds\right) = -\frac{1}{t^2} \Rightarrow \int\limits_0^\infty se^{-st}ds = \frac{1}{t^2}</math> <br>
Tomando derivadas de ordem superior da expressão <math>(2)</math>, obtem-se o seguinte resultado: <br>
<math> \frac{d^n}{dt^n} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds\right) = \frac{1\cdot2\cdots n}{t^{n+1}} \Rightarrow \int\limits_0^\infty s^ne^{-st}ds = \frac{n!}{t^{n+1}} \quad(3)</math> <br>
Por fim, fazendo <math>t = 1</math>, obtem-se uma função <math>f(x)</math>, de domínio igual ao conjunto dos reais positivos (é possível estender o domínio dessa função para os reais negativos, mas isso vai além dos propósitos introdutórios deste texto) e que, para x natural, satisfaz a condição: <math>f(x) = x!</math>. Esta função é: <br>
<math>f(x)= \int\limits_0^\infty s^xe^{-s}ds \quad(4)</math> <br>
Tradicionalmente, porém, a função gama de Euler é definida de um outro modo, que é o seguinte: <br>
<math>\Gamma(x) = f(x-1) = \int\limits_0^\infty s^{x-1}e^{-s}ds \quad(5)</math> <br>
Ademais, se x for um número natural, obtem-se a seguinte relação entre a função gama e a operação fatorial: <br>
<math>\Gamma(x)=(x-1)! \quad(6)</math>

==Bibliografia==
[http://euler.mat.ufrgs.br/~brietzke/gamma/gamma.html http://euler.mat.ufrgs.br/~brietzke/gamma/gamma.html]