Mudanças entre as edições de "Map0151"

Edição das 19h33min de 1 de março de 2013

Números no Computador

Muitos dos algoritmos de cálculo numérico, por uma questão prática, deverão ser executados numa máquina real. Nestas máquinas, no entanto, a capacidade de memória para representação dos números é finita. Vários números reais (infinitos, de fato) terão a mesma representação no computador (ou calculadora), daí originando-se os erros de arredondamentos. Vamos ver qual é a técnica usada atualmente para diminuir os erros de arredondamentos.

Representação de números inteiros numa base

Seja $\beta > 1$ um número natural. Então podemos representar qualquer número inteiro $k$ como a soma $$k= \text{sgn}(k)*a_0\beta^0 + \cdots + a_s \beta^s$$ onde cada algarismo $a_j$ representa um número natural entre $0$ e $\beta -1$. Só $a_s$ é diferente de zero. Esta representação é única. A representação de $k$ na base $\beta$ é $$k=\pm [a_s\dots a_0]_{\beta}$$ Deixando o sinal de $k$ de fora, para simplificar. Podemos calcular os algarismos do número daddo na base $\beta$ aplicando repetidas vezes o algoritmo da divisão. Escrevendo $$k = a_0 + \beta(a_1 +\beta( a_2 + \cdots +\beta a_s)\cdots ))$$ vemos que $a_0$ é o resto da divisão $k//\beta$, $a_1$ é o resto da divisão $(k-a_0)//\beta$ e assim por diante.

Exemplo: $39 = [100111]_2$

Representação de números fracionários e decimais numa base

Seja novamente $\beta > 1$ um número natural.

Se $x \in (0,1)$ então $$x= \frac{b_1}{\beta} + \cdots + \frac{b_k}{\beta^k} + \cdots$$ Diremos que $x=[0.b_1 b_2\dots]_{\beta}$ é a representação fracionária na base $\beta$ de $x$. Quando não houver dúvidas de que base se trata, omite-se a base da notação!

Exemplo: $0.9= [0.1110011001100...]_2$

Uma função para colocar um número decimal na forma binária

Representação em ponto flutuante

Consideramos uma base fixa $\beta > 1$. Um número real $\alpha \in \mathbb{R}$ positivo pode ser escrito nesta base como: $$\alpha = [a_k\cdots a_0.b_1b_2\cdots]_{\beta}$$ Isto significa que: $$\alpha = a_k\beta^k + \cdots + a_0 + \frac{b_1}{\beta} +\frac{b_2}{\beta^2} + \cdots$$ Na equação acima, colocando $\beta^{k+1}$ em evidência temos: $$\alpha = \left( \frac{a_k}{\beta} + \cdots + \frac{a_0}{\beta^{k+1}} + \frac{b_1}{\beta^{k+2}} +\frac{b_2}{\beta^{k+3}} + \cdots\right)\times \beta^{k+1}$$ ou ainda, lembrando da notação de um número numa base dada: $$\alpha = [0.a_k \cdots a_0 b_1 b_2\cdots]_{\beta} \times \beta^{k+1}$$ Esta última fórmula é importante. O número real $\alpha$ fica caracterizado por três dados:

• O número $m = [0.a_k \cdots a_0 b_1 b_2\cdots]_{\beta} \in (0,1)$ chamado de mantissa.
• O número $e = k+1$ chamado de expoente
• O sinal do número $\sigma$

Esta representação do número $\alpha$ como $\sigma m \times \beta^e$ chamaremos de representação normal em ponto flutuante na base $\beta$. Em geral a base fica clara pelo contexto!