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Conteúdo

1 Aspectos históricos da teoria de Controle
2 Exemplos de sistemas de controle
3 Caracterização dos sistemas lineares
- 3.1 Uma técnica de linearização
4 Exponencial de matrizes
5 Solução das equações lineares não homegêneas
- 5.1 Exemplo simples
6 Controlabilidade
7 Estabilidade de Sistemas Lineares
8 Um pouco de funções analíticas
- 8.1 Números complexos
  - 8.1.1 A estrutura de corpo comutativo
  - 8.1.2 A estrutura topológica
9 Integração complexa
10 Transformada de Laplace

[editar] Aspectos históricos da teoria de Controle

Em praticamente todos os sistemas da natureza há a possibilidade de intervenção que permite exercer algum controle sobre o sistema. Aspectos tecnológicos nos fazem procurar uma forma de exercer este controle automaticamente. É o que chamaremos de retroalimentação do sistema.

Basicamente a origem da teoria de controle são os sistemas de regulagem, isto é, procura-se desenvolver um processo automático para que um sistema fique numa situação de equilíbrio. Assim um sensor detecta se o sistema está se desregulando e um controlador atuaria automaticamente para restabelecer o equilibrio. Claro que muitos mecanismos engenhosos foram desenvolvidos durante milênios para resolver este problema, porém um caso interessante era o de controle de velocidade de moinhos de vento. Huygens inventou um instrumento conhecido como flyball que na pratica resolvia o problema. Esta mesma idéia do flyball foi usada depois por Watt em máquinas para o controle de fluxo de vapor. Este modelo que funcionava na prática tinha um problema de excesso de vibração para velocidades muito altas. Foi Maxwell quem elaborou um modelo matemático para o flyball e colocou o problema de eliminação das vibrações como um problema de estabilização. Este foi, pode-se dizer, o primeiro problema matemático da teoria de controle.

No começo do século XX, o desenvolvimento das redes de comunicações telefônicas, propiciou o aparecimento de novos modelos e a utilização de métodos da teoria de funções a variáveis complexas para eliminação de ruídos e filtragens de sinais. Os trabalhos pioneiros nesta linha deveu-se a Black, Bode e Nyquist do grupo do laboratório Bell. O conjunto de métodos desenvolvidos por eles influenciou bastante a engenharia e é chamado de teoria de controle clássica. Isso foi mais ou menos em 1930. Depois da segunda guerra mundial os métodos de otimização ganharam importância e é um mérito da teoria de Pontriaguin o estudo da teoria de controle ótimo. O desenvolvimento da teoria de sistemas dinâmicos propiciou uma nova abordagem para os sistemas de controles lineares. Assim nas décadas de 1960 e 1970 desenvolveu-se bastante uma teoria estrutural dos sistemas de controle. E nesta abordagem "moderna" baseada no espaço de estados dos sistemas são importantes os conceitos de controlabilidade e observabilidade introduzidos por Kalman. No final do século passado desenvolveram-se os métodos geometricos para o estudo de sistema de controle não linear. Em todos estes tópicos há ainda pesquisa bastante ativa. --Patonelli 15h27min de 24 de agosto de 2009 (UTC)patonelli

[editar] Exemplos de sistemas de controle

[editar] Um satélite simples num campo newtoniano

satélite num campo newtoniano

Uma partícula de massa $m$ está sob ação de um campo de acelerações central newtoniano. Além disso podemos colocar dois controles independentes, um na direção radial e outro na direção tangencial $u_{r}$ e $u_{\theta}$ respectivamente. A equação dinâmica deste sistema é dada pela segunda lei de Newton:

$m\ddot{\mathbf{r} }=(-\frac{k}{r^2}+u_r)\mathbf{e}_r + u_{\theta} \mathbf{e}_{\theta}$

fazendo a massa $m=1$ para que eu não tenha que ficar digitando coisas a mais. Podemos reecrever as equações em coordenadas polares como:

$\ddot{r} = r\dot{\theta}^2-\frac{k}{r^2}+u_r$

$r\ddot{\theta}= -2\dot{r}\dot{\theta} + u_{\theta}$

Estas duas equações nos dão um sistema de controle não linear com duas entradas de controle. Voltaremos a este exemplo quando falarmos de linearização.

--Patonelli 21h10min de 22 de agosto de 2009 (UTC)patonelli

[editar] O pêndulo invertido

Esquema de um pêndulo invertido num carrinho

O pêndulo invertido é um problema clássico em teoria de controle, as equações do movimento são:

$\left ( M + m \right ) \ddot x - m l \ddot \theta \cos \theta + m l \dot \theta^2 \sin \theta = F$

$m l (-g \sin \theta - \ddot x \cos \theta + l \ddot \theta) = 0$

A variável de controle aqui é a força $F$

[editar] Um forno simplificado

forno simplificado

A figura mostra o esquema de um forno constituído de uma jaqueta de um material (a parte cinza) que é aquecido por uma resistência, e o calor é transmitido para o interior do forno. A taxa de calor $u(t)$ é o controle do sistema. As temperaturas (que estamos supondo ser uniformemente distribuídas no espaçao!) $T_1(t)$ e $T_2(t)$ são as variáveis de estados. Sendo $c_1$ e $c_2$ as capacidades térmicas da jaqueta e do interior do forno respectivamente; $a_1$ e $a_2$ área exterior e interior da jaqueta; $r_1$ e $r_2$ os coeficientes de transmissão de calor da parte externa e interna da jaqueta e $T_0$ a temperatura exterior. A equação de balanço térmico nos dá:

$c_1 \dot{x}_1(t)= (-r_2a_2-r_1a_1)x_1 + r_2a_2x_2 + u(t)$

$c_2 \dot{x}_2(t)= r_2a_2x_1 - r_2a_2x_2$

Onde $x_1=T_1-T_0$ e $x_2=T_2-T_0$

[editar] Um circuito elétrico

equações dos componentes elétricos

Na figura ao lado vemos as equações dinâmicas de alguns componentes elétricos: resistores, condensadores e indutores. Usaremos estas equações e as leis de Kirchoff dos nós e das malhas para escrever a relação dinâmica entre voltagem e corrente do circuito abaixo.

Circuito do exemplo

Chamaremos de $x_1$ a voltagem pelo capacitor $C$ do circuito, e de $x_2$ a corrente através do indutor $L$ Aplicando as leis constitutivas dos elementos e as leis de Kirchoff temos as relações dinâmicas

$\dot{x}_1 = -\frac{x_1}{R_1C} + \frac{v}{R_1C}$

$\dot{x}_2 = -\frac{x_2R_2}{L} + \frac{v}{L}$
$i(t)=-\frac{x_1}{R_1} + x_2 + \frac{v(t)}{R_1}$

Neste caso $v(t)$ é a única entrada do sistema (e portanto o controle) e a corrente é a saída do sistema. Para encontrar a relação entre entrada e saída temos resolver uma equação diferencial nas variáveis $x_1$ e $x_2$ , que podem ser interpretadas como variáveis auxiliares neste caso. --Patonelli 21h32min de 22 de agosto de 2009 (UTC)patonelli

[editar] Um modelo de economia

Num modelo simples podemos definir as seguintes variáveis,

 $Y_n$  é a receita anual  no ano  $n$ 
 $C_n$  total do consumo no ano  $n$ 
 $I_n$  investimento no ano
 $G_n$  gastos do governo

A equação dinâmica é determinada pelas seguintes relações entre as variáveis

$Y_n = C_n + I_n + G_n$
$C_n = f(Y_{n-1})$ O nível de consumo depende da receita do último ano.
$I_n = g(C_n-C_{n-1})$ Investimentos dependem da variação de consumo.

O controle do sistema é $G_n$ . A equação a diferenças finitas fica

$Y_n = f(Y_{n-1}) + g(f(Y_{n-1}) - f(Y_{n-2})) + G_n$

--Patonelli 23h04min de 22 de agosto de 2009 (UTC)patonelli

[editar] Caracterização dos sistemas lineares

Os exemplos acima nos dão as principais carecterísticas dos sistemas de controle. Dependendo do sistema ser contínuo ou discreto temos as equações

$\dot{x}(t) = f(x(t),u(t))$

$y(t)= g(x(t),u(t))$

e no caso discreto

$x_{n+1}=f(x_n,u_n)$

$y_n=g(x_n,u_n)$

onde $x\in \mathbb{R}^n$ é a variável de estado, $y\in \mathbb{R}^p$ é a variável de saída e $u\in \mathbb{R}^m$ são os parâmetros de entrada.

As funções estruturais do sistema $f:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ e $g:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p$ são usadas para classificar os sistemas. No nosso caso estaremos interessado somente nos casos de sistemas lineares invariantes no tempo, ou seja quando

$f(x,u) = Ax + Bu$

$g(x,u)=Cx$

Com $A$ matriz $n\times n$ , $B$ matriz $n\times m$ e $C$ matriz $p\times n$ . Nas próximas sessões vamos analisar mais detalhadamente estes exemplos.

[editar] Uma técnica de linearização

Se $(x_0,u_0)$ for um ponto de equilíbrio do campo $f(x,u)$ então o sistema

$\dot{z} = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,u_0)z + \frac{\partial f}{\partial u}(x_0,u_0)v$

é o sistema linearizado em torno do ponto de equilíbrio. A mesma técnica é utilizada para o ponto de equilíbrio de um sistema discreto. Lembro que o ponto de equilíbrio de um sistema discreto satisfaz $f(x_0,u_0)= x_0$ e do sistema contínuo $f(x_0,u_0)= 0$

Como exemplo retomamos a equação do satélite. fazendo $u_{\theta}=u_r=0$ , encontramos um movimento circular uniforme que é uma trajetória de equilíbrio para um determinado momento angular $r(t)=r_0, \theta(t)=\omega t$ Agora fazemos as mudanças de variáveis:

$x_1=r(t)-r_0, x_2=\dot{x}_1, x_3= \theta(t)-\omega t, x_4=\dot{x}_3$

e usando a técnica de linearização ensinada obtemos os sistema linear:

$\begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \\ \dot{x}_4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 3\omega^2 & 0 & 0 & 2\omega r_0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2\frac{\omega}{r_0} & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}$

Vamos considerar um segundo exemplo, das equações de Euler de um corpo rígido. As equações são as seguintes:

$\begin{gather} I_1\dot{\omega}_1 = (I_2-I_3)\omega_2 \omega_3 + u_1 \\ I_2\dot{\omega}_2 = (I_3-I_1)\omega_1 \omega_3 + u_2 \\ I_3\dot{\omega}_3 = (I_1-I_2)\omega_1 \omega_2 + u_3 \\ \end{gather}$

Vamos considerar $I_1=I_2$ e linearizar o sistema resultante em torno de $u_i=0$ e da trajetória particular $\begin{gather} \omega_1(t) = \cos(K\omega_0 t) \\ \omega_2(t) = \sin(K\omega_0 t) \\ \omega_3(t) = \omega_0 \end{gather}$

O sistema linearizado, ao longo desta trajetória fica:

$\begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 & -K\omega_0 & -K\sin(K\omega_0 t) \\ K\omega_0 & 0 & K\cos(K\omega_0t) \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$

Neste caso o sistema linear não é invariante no tempo!

[editar] Exponencial de matrizes

Defineremos a exponencial de uma matriz $A=(a_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n}$ como a soma da série:

$\exp(A) = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}$

Esta soma converge absolutamente uma vez que introduzimos no espaço das matrizes a norma induzida da norma euclidiana em $\mathbb{R}^n$ isto é $\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\norm{A} = \sup_{x\neq 0}\{\frac{\norm{Ax}_2}{\norm{x}_2}\}$

As principais propriedades da exponencial de matrizes:

Propriedades

$\exp(0)=\mathbf{I}$
$\exp([\alpha + \beta] A) = \exp(\alpha A)\exp(\beta A)$
$\exp(A)\exp(-A)=\mathbf{I}$
$\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$ se $A$ e $B$ comutam
$\exp(SAS^{-1}) =S\exp(A)S^{-1}$
$\frac{d \exp(tA)}{dt}=A\exp(tA)$

[editar] Solução das equações lineares não homegêneas

Em primeiro lugar note que pela propriedade 6 acima a curva $x(t)=\exp(tA)v$ é solução da equação diferencial

$\dot{x}=Ax$

para que satisfaça também a condição inicial $x(t_0)=x_0$ basta escolher $v=\exp(-t_0A)x_0$ desta forma

$x(t) = \exp{(t-t_0)A}x_0$

é solução do problema de Cauchy:

$\dot{x}=Ax$

$x(t_0)=x_0$

Da mesma forma para resolvermos o problema não homogêneo:

$\dot{x}=Ax+ Bu(t)$

$x(t_0)=x_0$

Notemos que a curva $x(t)=\exp(tA)v(t)$ satisfaz a equação: $\dot{x}=Ax + \exp(tA)\dot{v}(t)$ Resolvendo a equação em $v(t)$ $\exp(tA)\dot{v}(t)=Bu(t)$ $\exp(t_0A)v(t_0)=x_0$ obtemos $v(t)=x_0+\int_{t_0}^t\exp(-sA)Bu(s)ds$ e finalmente obtemos a nossa aplicação de transição de estados

$x(t,t_0,x_0,u(\cdot))=\exp((t-t_0)A)x_0+ \int_{t_0}^t \exp([t-s]A)Bu(s)ds$

[editar] Exemplo simples

Esboço das trajetórias usando controles constantes u=1 e u=-1

O sistema $\ddot{\mathbf{x}}=u(t)$ pode ser escrito como:

$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}u(t)$

A aplicação da fórmula para a condição inicial no instante $t=0$ , lembrando que $\exp(tA)=\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , nos dá

$\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 + y_0t + \int_0^t (t-s)u(s)ds \\ y_0 + \int_0^t u(s)ds \end{pmatrix}$

[editar] Controlabilidade

Antes de abordar controlabilidade convém falar de dois tópicos:

[editar] Controles admissíveis

Translação nos controles

Concatenação de controles

A controlabilidade estuda a relação entre os controles e os pontos atingíveis no espaço de estados. Por isso é importante dar algumas propriedades estruturais do conjunto dos controles. Nesta disciplina chamaremos de Conjunto dos controles admissíveis o seguinte:

$\mathcal{U}= \{ u:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^m: \text{ localmente integraveis }\}$

Este conjunto tem as seguintes propriedades:

É um espaço vetorial,
É invariante pelo sistema dinâmico de translação $\theta_t$
É fechado pela concatenação $\wedge_{t_0}$ para todo $t_0\in \mathbb{R}$
Contém a família das funções constantes por partes

Um subconjunto de $\mathcal{U}$ com estas quatro propriedades também pode ser chamado de um conjunto de controles admissíveis e alteraria um pouco o estudo da controlabilidade. Este conjunto que vamos usar pode ser pensado como o maior conjunto de controles admissíveis.

A translação é definida como:

$\theta_t(u)(s)=u(s-t)$

e a concatenação no tempo $t_0$ é definida assim

$(u\wedge_{t_0}v)(s) = \left\{ \begin{array}{cl} u(s) & \text{ se } s\leq t_0 \\ v(s) & \text{ se } s > t_0 \end{array}\right.$

[editar] Propriedades da aplicação de transição de estados

Para os sistemas de controle contínuos de forma geral, aplicação de transição de estados é uma aplicação:

$\phi: \mathbb{R} \times \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \times \mathcal{U} \to \mathbb{R}^n$

Satisfazendo as propriedades:

$\phi(t,t,x_0,u(\cdot))=x_0$ , chamada de compatibilidade.
$\phi(t_2, t_1, \phi(t_1,t_0,x_0,u(\cdot)),v(\cdot))=\phi(t_2,t_0,x_0,u\wedge_{t_1}v(\cdot))$ , sistema dinâmico.
$\phi(t_1,t_0,x_0,u(\cdot))$ só depende do valor de $u(t)$ no intervalo $[t_0,t_1]$

No caso dos sistemas lineares independentes do tempo temos

$\phi(t,t_0,x_0,u(\cdot))=\exp((t-t_0)A)x_0+ \int_{t_0}^t \exp((t-s)A)Bu(s)ds$

e neste caso temos ainda as seguintes propriedades:

$\phi(t,t_0,x_0,u(\cdot)) =\phi(t,t_0,x_0, 0) + \phi(t_1,t_0,0,u(\cdot))$ : decomposição entre dinâmica livre e controlada
$\phi(t,t_0,x_0 + x_1,u(\cdot)+ v(\cdot)) = \phi(t,t_0,x_0,u(\cdot))+ \phi(t,t_0,x_1,v(\cdot))$ : princípio da superposição
$\phi(t,t_0,x_0,\theta_{t_0}u(\cdot))= \phi(t-t_0,0,x_0,u(\cdot))$ : invariante no tempo.

Esta última propriedade é que nos justifica o estudo da controlabilidade só quando o tempo inicial é $0$

Se $a$ e $b$ são dois pontos do espaço de estados $\mathbb{R}^n$ , dizemos que $b$ é atingível em tempo $T$ a partir de $a$ se existir um controle admissível $u(t)\in \mathcal{U}$ tal que

$\phi(T,0,a,u(\cdot))=b$

Nesta caso dizemos também que o controle $u$ transfere $a$ para $b$ em tempo $T$ . O conjunto de todos os pontos atingíveis a partir de $a$ em tempo $T>0$ será denotado por $\mathcal{A}(a,T)$ .

No caso do sistema linear é fácil verificar que

$\mathcal{A}(a,T)= \exp(tA)a + \mathcal{A}(0,T)$

Diremos que o sistema é controlável quando $\mathcal{A}(0,T) = \mathbb{R}^n$ .

[editar] Matriz de controlabilidade

Note que o conjunto $\mathcal{A}(0,T)$ depende apenas das matrizes $A$ , $B$ do tempo $T>0$ e da família de controles admissíveis. Quando o sistema for controlável diremos que o par $(A,B)$ é controlável.

Definiremos a matriz de controlabilidade de $(A,B)$ (ou do sistema ) como

$Q_T=\int_0^T \exp(sA)BB^\prime \exp(sA^\prime)ds$

esta matriz é simétrica, semidefinida positiva. Se for definida positiva então é invertível e neste caso o par $(A,B)$ é controlável.

Basta verificar que para qualquer vetor do espaço de estados $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$ temos que o controle

$\hat{u}(s)=B^\prime\exp((T-s)A^\prime)Q_T^{-1}\mathbf{b}$

transfere a origem para $\mathbf{b}$ em tempo $T$

Assim $Q_T$ ser invertível é uma condição suficiente para a controlabilidade. veremos que é também necessária.

Se o núcleo $Q_T$ tem um elemento $\mathbf{v} \neq 0$ então $<Q_T\mathbf{v},\mathbf{v}> = \int_0^T ||B^\prime \exp(sA^\prime)\mathbf{v}||^2ds=0$ . Pela analiticidade do integrando temos $B^\prime \exp(sA^\prime)\mathbf{v} = 0 \forall s$ .

Neste caso temos que para todo controle admissível $u(\cdot)\in \mathcal{U}$

$\int_0^T <\exp((T-s)A)Bu(s)u(s),\mathbf{v}>ds =0$

e isto significa que o vetor $\mathbf{v}$ não é acessível pois é ortogonal ao conjunto de atingibilidade de $0$ . Portanto para o sistema ser controlável é necessário que a matriz $Q_T$ seja invertível.

[editar] Exercício resolvido

Verificar se é controlável o seguinte sistema:

$\dot{\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} } = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}u$

$Q_{T} = \int_0^T e^{sA}BB'e^{sA'}ds$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & -1 \end{bmatrix}; A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}; A^3 = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}; A^4 = I;$

$e^{sA} = I + sA + \frac{s^2 A^2}{2!} + \frac{s^3 A^3}{3!} + ...$

$e^{sA} = \begin{bmatrix} \sin{(s)} + \cos{(s)} & 0 & -\sin{(s)}\\ 0 & e^s & 0\\ 2\sin{(s)} & 0 & -\sin{(s)}+\cos{(s)} \end{bmatrix};$

$e^{sA'} = \begin{bmatrix} \sin{(s)} + \cos{(s)} & 0 & 2\sin{(s)}\\ 0 & e^s & 0\\ -\sin{(s)} & 0 & -\sin{(s)}+\cos{(s)} \end{bmatrix};$

$Q_T = \int_0^T \begin{bmatrix} \sin{(s)} + \cos{(s)} & 0 & -\sin{(s)}\\ 0 & e^s & 0\\ 2\sin{(s)} & 0 & -\sin{(s)}+\cos{(s)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin{(s)} + \cos{(s)} & 0 & 2\sin{(s)}\\ 0 & e^s & 0\\ -\sin{(s)} & 0 & -\sin{(s)}+\cos{(s)} \end{bmatrix}ds$

$Q_T = \int_0^T \begin{bmatrix} \sin^2{(s)} & 0 & \sin^2{(s)} - \sin{(s)} . \cos{(s)} \\ 0 & 0 & 0 \\ \sin^2{(s)} - \sin{(s)} . \cos{(s)} & 0 & (\cos{(s)} - \sin{(s)})^2 \end{bmatrix}ds$

$det{Q_T} = 0 \Rightarrow$ sistema não é controlável.

[editar] Critério de controlabilidade de Kalman

Definimos o operador linear:

$\mathcal{L}_T(u(\cdot))=\int_0^T \exp(sA)Bu(s)ds$

Verifica-se facilmente que o par $(A,B)$ é controlável quando a imagem deste operador linear é o espaço de estados $\mathbb{R}^n$ . Como o espaço vetorial $\mathcal{U}$ é de dimensão infinita este operador não tem uma representação matricial. Mas se considerarmos o operador

$\mathbf{l}_{(A,B)}: \mathbb{R}^m\times\cdots\times\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$

definido como

$\mathbf{l}_{(A,B)}(u_0,\dots,u_{n-1})= Bu_0+ABu_1+\cdots + A^{n-1}Bu_{n-1}$

com o auxilio do teorema de Cayley-Hamilton podemos mostrar que para qualquer par de matrizes $(A,B)$ as imagens dos operadores $\mathbf{l}_{(A,B)}$ e $\mathcal{L}_T$ coincidem. Neste caso a dimensão da imagem do $\mathbf{l}_{(A,B)}$ é o posto de sua matriz de representação numa base qualquer. Na base canônica a matriz de representação é a matriz de Kalman

$\mathbb{K}_{(A,B)} = [B (AB) \cdots (A^{n-1}B)]\in \mathbb{R}^{n\times nm}$

Assim o par $(A,B)$ é controlável se e somente se o posto de $\mathbb{K}_{(A,B)}$ for $n$ .

[editar] Forma Normal de Kalman, ou decomposição de Kalman.

Suponha que a dimensão da imagem do operador $\mathbf{l}_{(A,B)}$ seja um número $k$ estritamente menor que a dimensão do espaço de estados. Observamos que o subespaço vetorial $V=\text{Im}(\mathbf{l}_{(A,B)})$ é um subespaço invariante por $A$ e que contém a imagem do operador $B$ . Escolhendo uma base de $\mathbb{R}^n$ adaptada a este subespaço teremos que nesta nova base o sistema $(A,B)$ terá a forma $(\tilde{A}, \tilde{B})$ com

$\tilde{A} = \begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} \\ \mathbf{0} & A_{22} \end{pmatrix}$

$\tilde{B} = \begin{pmatrix}B_1 \\ 0 \end{pmatrix}$

onde $A_{11} \in \mathbb{R}^{k\times k}$ , $A_{12} \in \mathbb{R}^{k\times (n-k)}$ , $A_{22} \in \mathbb{R}^{(n-k)\times (n-k)}$ e $B_{1} \in \mathbb{R}^{k\times m}$ . Além disso o par $(A_{11},B_1)$ é controlável. Esta é a forma normal de Kalman

É fácil obter as relações

$\tilde{A} = P^{-1}AP$

$\tilde{B}=P^{-1}B$

onde $P$ é a matriz de mudança de base da base adaptada para a base canônica. Sempre que tivermos esta relação dizemos que os pares $(A,B)$ e $(\tilde{A},\tilde{B})$ são equivalentes.

[editar] Observabilidade

Retomemos a equação do sistema linear

$\dot{x}=Ax + Bu$

$y=Cx$

e verificamos a relação entre as condições iniciais do espaço de estado e a saída do sistema. A questão é: dado o controle admissível podemos identificar o estado inicial do sistema a partir da saída $y(t)$ . Diremos que os sistema é observável em tempo $T$ se para quaisquer par de estados $x_a$ e $x_b$ diferentes, as respectivas funções de saída $y_a(t)$ e $y_b(t)$ também diferem. Ou seja: existe $t \in [0,T]$ tal que $y_a(t)-y_b(t)\neq 0$ .

Temos que $y_a(t)-y_b(t)=C\exp(tA)(x_a-x_b)$ , daí concluímos que o sistema é observável em tempo $T$ , ou o par $(A,C)$ é observável, se e somente se, $C\exp(tA)\mathbf{x} \neq 0$ para todo $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$ .

Definimos a matriz de observabilidade :

$R_T=\int_0^T \exp(sA^\prime)C^\prime C \exp(sA)ds$

Então verificamos que

$\int_0^T \norm{C\exp(sA)\mathbf{x} }^2ds= < R_T \mathbf{x},\mathbf{x}>$

donde o par $(A,C)$ é observável se e somente se $R_T$ for invertível. Como a matriz de observabilidade de $(A,C)$ é exatamente a matriz de controlabilidade de $(A^\prime,C^\prime)$ temos as relações de dualidade. O sistema anterior e observável se e somente se o sistema dual

$\dot{z} = A^\prime z + C^\prime v$

$w=B^\prime z$

for controlável.

Analogamente ao caso da controlabilidade podemos escrever os critérios de Kalman para a observabilidade: o par $(A,C)$ é observável quando a matriz de kalman de observabilidade $np\times n$

$\mathbb{O}_{(A,C)}=\begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1}\end{bmatrix}$

tem posto máximo.

[editar] Estabilidade de Sistemas Lineares

[editar] matrizes estáveis

Diremos que uma matriz $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ é estável, ou o sistema linear $\dot{x}=Ax$ é estável quando para todo vetor $x \in \mathbb{R}^n$ temos que:

$\lim_{t\to \infty} \exp(tA)x = 0$

( $0$ é assintóticamente estável em EDO)

O conceito de estabilidade não depende das mudanças de base no espaço de estados e se $A$ é estável todas as matrizes equivalentes são estáveis. Para determinar a estabilidade de uma matriz analisamos o conjunto dos autovalores desta matriz.

$\sigma(A)=\{ \lambda \in \mathbb{C}: \det(A-\lambda \mathbf{I})=0\}$ é o conjunto dos autovalores de $A$ $\omega(A)=\sup\{ \text{Re}(\lambda) : \lambda \in \sigma(A) \}$

A matriz $A$ é estável se e somente se $\omega(A) < 0$

[editar] Polinômios estáveis

Como vimos antes, determinamos a estabilidade de uma matriz $A$ estudando as raizes de seu polinômio característico. De uma forma geral diremos que um polinômio

$p(z) = z^n + a_1z^{n-1}+ \cdots + a_n$

é estável se todas as raízes deste polinômio têm a parte real negativa. Os polinômios de graus 1 e 2, do tipo acima, são estáveis se e somente se os coeficientes $a_i$ forem todos positivos. Uma condição necessária para que um polinômio geral como o acima (líder=1) seja estável é que todos os coeficientes $a_i$ sejam positivos. Mas esta condição não é mais suficiente se o grau do polinômio for maior que 2.

[editar] Critério de Routh

Dado um polinômio $p(z)$ como acima, com coeficientes reais, e supondo que a condição necessária esteja satisfeita, podemos escrever

$p(\mathbf{i}x) = U(x) + \mathbf{i}V(x)$

Note que se $n$ é par então grau de $U$ é $n$ e grau de $V$ é $n-1$ sendo os líderes dos dois polinômios de sinais opostos.

Se se $n$ é impar então grau de $U$ é $n-1$ e grau de $V$ é $n$ sendo os líderes dos dois polinômios de mesmo sinal.

Construimos agora uma sequência de polinômios $f_1,f_2,\dots , f_k$ da seguinte forma: Se $n$ é par então $f_1(x)=U(x)$ e $f_2(x)=V(x)$ ; se $n$ for ímpar $f_1(x)=V(x)$ e $f_2(x)=-U(x)$ . Os outros termos da sequência são obtidos pela aplicação do algorítmo de Euclides da seguinte forma

$f_{i-1}(x)= \alpha_i(x)f_{i}(x) - f_{i+1}(x)$

a sequência pára quando $f_k(x)=c$ .

O critério de Routh diz que o polinômio $p(z)$ é estável se e somente se a sequência $f_1,\dots,f_k$ tem $n+1$ elementos ( $k=n+1$ ) e os sinais dos líderes dos polinômios $f_i$ vão se alternando.

[editar] Matrizes de Routh

O produto de Routh de duas sequências de números reais, $(\alpha_i)_{i\in \mathbb{N}}$ , $(\beta_i)_{i\in \mathbb{N}}$ e uma terceira sequência $(\gamma_i)_{i\in \mathbb{N}}$ definida da seguinte forma:

$\gamma_k=\frac{-1}{\beta_1}\text{det} \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_{k+1} \\ \beta_1 & \beta_{k+1}\end{bmatrix}$

Vamos denotar isso como $\gamma = R(\alpha,\beta)$ . Com um polinômio de grau $n$ , $p(z)=z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_n$ , definimos duas sequências

$\sigma^1: 1, a_2, a_4, \dots , 0, 0, \dots$

$\sigma^2: a_1, a_3, \dots, 0, 0, \dots$

A matriz de Routh de um polinômio, $p$ , será uma matrix em que cada linha será uma sequência quase-nula. A primeira linha será a sequência a sequência $\sigma^1$ , a segunda será a sequência $\sigma^2$ . A $k-$ ésima linha será $\sigma^k=R(\sigma^{k-2},\sigma^{k-1})$ . Uma variação do critério de Routh acima é:

O polinômio  $p(z)$  com todos os coeficientes positivos é estável se e somente se a matriz de Routh tem exatamente  $n+1$  linhas 
com o primeiro termo não nulo e todos os termos da primeira coluna são positivos.

[editar] Estabilização de sistemas lineares

Diremos que um par de matrizes $(A,B)$ associado a um sistema linear é estabilizável se existir uma matriz $K\in\mathbb{R}^{m\times n}$ tal que a matriz $A+BK$ fique estável.

Diremos que um par $(A,B)$ é completamente estabilizável quando para qualquer $\omega \in \mathbb{R}$ dado, existe uma matriz $K\in\mathbb{R}^{m\times n}$ tal que $\omega(A+BK)< \omega$

São equivalentes

$(A,B)$ é completamente estabilizável.
$(A,B)$ é controlável.
Dado qualquer polinômio $p(z)=z^n+a_1z^{n-1}+\cdots + a_n$ , existe uma matriz $K\in\mathbb{R}^{m\times n}$ talque o polinômio característico da matriz $A+BK$ seja exatamente $p(z)$

[editar] Um pouco de funções analíticas

[editar] Números complexos

Em primeiro lugar, nos interessa dois aspectos do conjunto dos números complexos: sua característica algébrica de um corpo comutativo completo, e sua característica topológica de um espaço normado

[editar] A estrutura de corpo comutativo

$\mathbb{C}=\{ (a,b)\in \mathbb{R}^2\}$

com as seguintes operações de soma e produto:

Soma $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
Multiplicação $(a,b).(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Note que a soma é completamente compatível com a estrutura de espaço vetorial de $\mathbb{C}$ . Também é fácil verificar as propriedades associativas, comutativas e distributivas das operações. --Patonelli 15h25min de 12 de setembro de 2009 (UTC)

[editar] A estrutura topológica

Uma outra propriedade de $\mathbb{C}$ que vai nos interessar é sua estrutura topológica. Definimos no espaço a norma $|z| = \sqrt{z\bar{z}}$ definindo assim uma topologia compatível com a estrutura de $\mathbb{R}^2$ .

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+[[Imagem:tecontrol4.png]]
+{| style="background-color:#fafaff; border:#d9d9ee 1px solid;" border="1" cellpadding="20" cellspacing="0" align="center"
+|style="border:#d9d9ee 1px solid;"| Se você quiser editar  leia as [[Dicas_de_formatação | Dicas de formatação ]] deste wiki, e mãos à obra!.
+|}
+<br />
+== Aspectos históricos da teoria de Controle ==
+Em praticamente todos os sistemas da natureza há a possibilidade de intervenção que permite exercer algum controle sobre o sistema. Aspectos tecnológicos nos fazem procurar uma forma de exercer este controle automaticamente. É o que chamaremos de retroalimentação do sistema.
+Basicamente a origem da teoria de controle são os sistemas de regulagem, isto é, procura-se desenvolver um processo automático para que um sistema fique numa situação de equilíbrio. Assim um sensor detecta se o sistema está se desregulando e um controlador atuaria automaticamente para restabelecer o equilibrio. Claro que muitos mecanismos engenhosos foram desenvolvidos durante milênios para resolver este problema, porém um caso interessante era o de controle de velocidade de moinhos de vento. Huygens inventou um instrumento conhecido como flyball que na pratica resolvia o problema.
+Esta mesma idéia do [[:en :Centrifugal_governor | flyball]] foi usada depois por Watt em máquinas  para o controle de fluxo de vapor.
+Este modelo que funcionava na prática tinha um problema de excesso de vibração para velocidades muito altas. Foi Maxwell quem
+elaborou um modelo matemático para o flyball e colocou o problema de eliminação das vibrações como um problema de estabilização. Este foi, pode-se dizer, o primeiro problema matemático da teoria de controle.
+No começo do século XX, o desenvolvimento das redes de comunicações telefônicas, propiciou o aparecimento de novos modelos e a utilização de métodos da teoria de funções a variáveis complexas para eliminação de ruídos e filtragens de sinais. Os trabalhos pioneiros nesta linha deveu-se a [[:en :Harold_Stephen_Black | Black]], [[:en :Hendrik_Wade_Bode | Bode]] e [[:en :Harry_Nyquist | Nyquist]] do grupo do laboratório Bell. O conjunto de métodos desenvolvidos por eles influenciou bastante a engenharia e é chamado de teoria de controle clássica.
+Isso foi mais ou menos em 1930. Depois da segunda guerra mundial os métodos de otimização ganharam importância e é um mérito da teoria de [[:en :Lev_Pontryagin | Pontriaguin]] o estudo da teoria de controle ótimo. O desenvolvimento da teoria de sistemas dinâmicos propiciou uma nova abordagem para os sistemas de controles lineares. Assim nas décadas de 1960 e 1970 desenvolveu-se bastante uma teoria estrutural dos sistemas de controle. E nesta abordagem "moderna" baseada no espaço de estados dos sistemas são importantes os conceitos de controlabilidade e observabilidade introduzidos por Kalman. No final do século passado desenvolveram-se os métodos geometricos para o estudo de sistema de controle não linear. Em todos estes tópicos há ainda pesquisa bastante ativa.
+--[[Usuário:Patonelli|Patonelli]] 15h27min de 24 de agosto de 2009 (UTC)patonelli
+== Exemplos de sistemas de controle ==
+=== Um satélite simples num campo newtoniano ===
+[[Imagem:satelite.png |frame|left|satélite num campo newtoniano]]
+Uma partícula de massa <math>m</math> está sob ação de um campo de acelerações central newtoniano. Além disso podemos colocar dois controles independentes, um na direção radial e outro na direção tangencial <math>u_{r}</math>
+e <math>u_{\theta}</math> respectivamente. A equação dinâmica deste sistema é dada pela segunda lei de Newton:
+{{ bluemath |1= <math>m\ddot{\mathbf{r} }=(-\frac{k}{r^2}+u_r)\mathbf{e}_r + u_{\theta} \mathbf{e}_{\theta}</math>}}
+fazendo a massa <math>m=1</math> para que eu não tenha que ficar digitando coisas a mais. Podemos reecrever as equações em coordenadas polares como:
+{{bluemath| 1=<math>\ddot{r} = r\dot{\theta}^2-\frac{k}{r^2}+u_r </math> <br/>
+<math>r\ddot{\theta}= -2\dot{r}\dot{\theta} + u_{\theta}</math>
+}}
+Estas duas equações nos dão um sistema de controle não linear com duas entradas de controle. Voltaremos a este exemplo quando falarmos de linearização.
+__MATHJAX__
+--[[Usuário:Patonelli|Patonelli]] 21h10min de 22 de agosto de 2009 (UTC)patonelli
+=== O pêndulo invertido ===
+[[Imagem:Cart-pendulum.png|frame|left| Esquema de um pêndulo invertido num carrinho]]
+O [[:en :Inverted_pendulum | pêndulo invertido]] é um problema clássico em teoria de controle, as equações do movimento são:
+{{bluemath| 1=<math>
+\left ( M + m \right ) \ddot x - m l \ddot \theta \cos \theta + m l \dot \theta^2 \sin \theta = F
+</math>
+<math>
+m l (-g \sin \theta - \ddot x \cos \theta + l \ddot \theta) = 0
+</math>
+}}
+A variável de controle aqui é a força <math>F</math>
+=== Um forno simplificado ===
+[[Imagem:forno.png |frame|left|forno simplificado]]
+A figura mostra o esquema de um forno constituído de uma jaqueta de um material (a parte cinza) que é aquecido por
+uma resistência, e o calor é transmitido para o interior do forno. A taxa de calor <math>u(t)</math>
+é o controle do sistema. As temperaturas (que estamos supondo ser uniformemente distribuídas no espaçao!) <math> T_1(t) </math> e <math> T_2(t) </math> são as variáveis de estados. Sendo
+<math>c_1</math> e <math>c_2</math> as [[:pt :Capacidade_térmica | capacidades térmicas]] da jaqueta e do interior do forno respectivamente; <math>a_1</math> e <math>a_2</math> área exterior e interior da jaqueta; <math>r_1</math> e <math>r_2</math> os coeficientes de transmissão de calor da parte externa e interna da jaqueta e <math>T_0</math> a temperatura exterior. A equação de balanço térmico nos dá:
+{{Bluemath| 1=<math>c_1 \dot{x}_1(t)= (-r_2a_2-r_1a_1)x_1 + r_2a_2x_2 + u(t) </math>
+<math>c_2 \dot{x}_2(t)= r_2a_2x_1 - r_2a_2x_2 </math>}}
+Onde <math>x_1=T_1-T_0</math> e <math>x_2=T_2-T_0</math>
+=== Um circuito elétrico ===
+[[Imagem:map2321-circ1.png |frame|left|equações dos componentes elétricos]]
+Na figura ao lado vemos as equações dinâmicas de alguns componentes elétricos: resistores, condensadores e indutores. Usaremos estas equações e as [[:pt :Leis_de_Kirchoff | leis de Kirchoff]] dos nós e das malhas para escrever a relação dinâmica entre voltagem e corrente do circuito abaixo.
+[[Imagem:map2321-circ2.png |frame|right|Circuito do exemplo]]
+Chamaremos de <math>x_1</math> a voltagem pelo capacitor <math>C</math> do circuito, e de <math>x_2</math> a corrente através do indutor <math>L</math>
+Aplicando as leis constitutivas dos elementos e as [[:pt :Leis_de_Kirchoff|leis de Kirchoff]] temos as relações dinâmicas
+{{bluemath|1= <math>\dot{x}_1 = -\frac{x_1}{R_1C} + \frac{v}{R_1C} </math>  <br />
+<math>\dot{x}_2 = -\frac{x_2R_2}{L} + \frac{v}{L}</math> <br />
+<math>i(t)=-\frac{x_1}{R_1} + x_2 + \frac{v(t)}{R_1}</math>
+}}
+Neste caso <math>v(t)</math> é a única entrada do sistema (e portanto o controle) e a corrente é a saída do sistema. Para encontrar a relação entre entrada e saída temos resolver uma equação diferencial nas variáveis <math>x_1</math> e <math>x_2</math>, que podem ser interpretadas como variáveis auxiliares neste caso.
+--[[Usuário:Patonelli|Patonelli]] 21h32min de 22 de agosto de 2009 (UTC)patonelli
+=== Um modelo de economia ===
+Num modelo simples podemos definir as seguintes variáveis,
+ <math>Y_n</math> é a receita anual  no ano <math>n</math>
+ <math>C_n</math> total do consumo no ano <math>n</math>
+ <math>I_n</math> investimento no ano
+ <math>G_n</math> gastos do governo
+A equação dinâmica é determinada pelas seguintes relações entre as variáveis
+{{bluemath|
+=<math></math>
+# <math>Y_n = C_n + I_n + G_n</math>
+# <math>C_n = f(Y_{n-1})</math> O nível de consumo depende da receita do último ano.
+# <math>I_n = g(C_n-C_{n-1})</math> Investimentos dependem da variação de consumo.}}
+O controle do sistema é <math>G_n</math>. A equação a diferenças finitas fica
+{{bluemath| 1= <math>Y_n = f(Y_{n-1}) + g(f(Y_{n-1}) - f(Y_{n-2})) + G_n</math>}}
+--[[Usuário:Patonelli|Patonelli]] 23h04min de 22 de agosto de 2009 (UTC)patonelli
+== Caracterização dos sistemas lineares ==
+Os exemplos acima nos dão as principais carecterísticas dos sistemas de controle. Dependendo do sistema ser contínuo ou discreto
+temos as equações
+{{ bluemath | 1= <math>\dot{x}(t) = f(x(t),u(t))</math> <br />
+<math>y(t)= g(x(t),u(t))</math>
+}}
+e no caso discreto
+{{ bluemath | 1=<math>x_{n+1}=f(x_n,u_n)</math> <br/>
+<math>y_n=g(x_n,u_n)</math> }}
+onde <math>x\in \mathbb{R}^n</math> é a '''variável de estado''', <math>y\in \mathbb{R}^p</math> é a '''variável de saída''' e <math>u\in \mathbb{R}^m</math> são os '''parâmetros de entrada'''.
+As funções estruturais do sistema <math>f:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math> e <math>g:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p</math> são usadas para classificar os sistemas. No nosso caso estaremos interessado somente nos casos de sistemas lineares invariantes no tempo, ou seja quando
+{{ bluemath | 1=<math>f(x,u) = Ax + Bu</math> <br/>
+<math>g(x,u)=Cx</math>
+}}
+Com <math>A</math> matriz <math>n\times n</math>, <math>B</math> matriz <math>n\times m</math> e <math>C</math> matriz <math>p\times n</math>.
+Nas próximas sessões vamos analisar mais detalhadamente estes exemplos.
+=== Uma técnica de linearização ===
+Se <math>(x_0,u_0)</math> for um ponto de equilíbrio do campo <math>f(x,u)</math> então o sistema
+{{ bluemath | 1=<math>\dot{z} = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,u_0)z + \frac{\partial f}{\partial u}(x_0,u_0)v</math> }}
+é o sistema linearizado em torno do ponto de equilíbrio. A mesma técnica é utilizada para o ponto de equilíbrio de um sistema discreto. Lembro que o ponto de equilíbrio de um sistema discreto satisfaz <math>f(x_0,u_0)= x_0</math> e do sistema contínuo <math>f(x_0,u_0)= 0</math>
+Como exemplo retomamos a equação do satélite. fazendo <math>u_{\theta}=u_r=0</math>, encontramos um movimento circular uniforme que é uma trajetória de equilíbrio para um determinado momento angular: <math>r(t)=r_0, \theta(t)=\omega t</math>
+Agora fazemos as mudanças de variáveis:
+{{ bluemath |1=<math>x_1=r(t)-r_0, x_2=\dot{x}_1, x_3= \theta(t)-\omega t, x_4=\dot{x}_3</math>}}
+e usando a técnica de linearização ensinada obtemos os sistema linear:
+{{bluemath|1=
+<math> $\begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \\ \dot{x}_4\end{pmatrix}$ =
+\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\
+\omega^2 & 0 & 0 & 2\omega r_0 \\
+& 0 & 0 & 1 \\
+& -2\frac{\omega}{r_0} & 0 & 0 \end{pmatrix} $\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4  \end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$  $\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}$ </math>
+}}
+Vamos considerar um segundo exemplo, das equações de Euler de um corpo rígido. As equações são as seguintes:
+{{ bluemath | 1=
+<math> \begin{gather}
+I_1\dot{\omega}_1 = (I_2-I_3)\omega_2 \omega_3 + u_1 \\
+I_2\dot{\omega}_2 = (I_3-I_1)\omega_1 \omega_3 + u_2 \\
+I_3\dot{\omega}_3 = (I_1-I_2)\omega_1 \omega_2 + u_3 \\
+\end{gather}
+</math>}}
+Vamos considerar <math>I_1=I_2</math> e linearizar o sistema resultante em torno de <math>u_i=0</math> e da trajetória particular
+:<math> \begin{gather}
+\omega_1(t) = \cos(K\omega_0 t) \\
+\omega_2(t) = \sin(K\omega_0 t) \\
+\omega_3(t) = \omega_0
+\end{gather}</math>
+O sistema linearizado, ao longo desta trajetória fica:
+{{bluemath|1=
+<math> $\begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{pmatrix}$ =
+\begin{pmatrix}0 & -K\omega_0 & -K\sin(K\omega_0 t) \\
+K\omega_0 & 0 & K\cos(K\omega_0t)  \\
+& 0 & 0
+\end{pmatrix} $\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$  $\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2  \\ u_3 \end{pmatrix}$ </math>
+}}
+Neste caso o sistema linear não é invariante no tempo!
+== Exponencial de matrizes ==
+__MATHJAX__
+Defineremos a exponencial de uma matriz <math>A=(a_{ij})\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> como a soma da série:
+{{bluemath | 1=<math>\exp(A) = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}</math>}}
+Esta soma converge absolutamente uma vez que introduzimos no espaço das matrizes a [[:en:Matrix_norm#induced_norm | norma induzida]] da norma euclidiana em <math>\mathbb{R}^n</math>
+isto é
+<math> \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|} </math>
+{{ bluemath| 1= <math> \norm{A} = \sup_{x\neq 0}\{\frac{\norm{Ax}_2}{\norm{x}_2}\}</math>}}
+As principais propriedades da exponencial de matrizes:
+{{ bluemath | 1= '''Propriedades'''
+# <math>\exp(0)=\mathbf{I}</math>
+# <math>\exp([\alpha + \beta] A) = \exp(\alpha A)\exp(\beta A)</math>
+# <math>\exp(A)\exp(-A)=\mathbf{I}</math>
+# <math>\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)</math> se <math>A</math> e <math>B</math> comutam
+# <math>\exp(SAS^{-1}) =S\exp(A)S^{-1}</math>
+# <math>\frac{d \exp(tA)}{dt}=A\exp(tA)</math>}}
+== Solução das equações lineares não homegêneas ==
+Em primeiro lugar note que pela propriedade 6 acima  a curva
+:<math>x(t)=\exp(tA)v</math>
+é solução da equação diferencial
+{{ bluemath |1=
+<math>\dot{x}=Ax</math>}}
+para que satisfaça também a condição inicial <math>x(t_0)=x_0</math> basta escolher <math>v=\exp(-t_0A)x_0</math> desta forma
+{{ bluemath |1= <math>x(t) = \exp{(t-t_0)A}x_0</math>}} é solução do problema de Cauchy:
+{{ bluemath |1= <math>\dot{x}=Ax</math>
+<math>x(t_0)=x_0</math> }}
+Da mesma forma para resolvermos o problema não homogêneo:
+{{ bluemath |1= <math>\dot{x}=Ax+ Bu(t)</math>
+<math>x(t_0)=x_0</math> }}
+Notemos que a curva
+:<math>x(t)=\exp(tA)v(t)</math>
+satisfaz a equação:
+:<math>\dot{x}=Ax + \exp(tA)\dot{v}(t)</math>
+Resolvendo a equação em <math>v(t)</math>
+:<math>\exp(tA)\dot{v}(t)=Bu(t)</math>
+:<math>\exp(t_0A)v(t_0)=x_0</math>
+obtemos
+:<math>v(t)=x_0+\int_{t_0}^t\exp(-sA)Bu(s)ds</math>
+e finalmente obtemos a nossa '''aplicação de transição de estados'''
+{{ bluemath | 1= <math>x(t,t_0,x_0,u(\cdot))=\exp((t-t_0)A)x_0+ \int_{t_0}^t \exp([t-s]A)Bu(s)ds</math>}}
+=== Exemplo simples ===
+[[Imagem:map2321-orbita1.png|frame|right|Esboço das trajetórias usando controles constantes u=1 e u=-1]]
+O sistema <math>\ddot{\mathbf{x}}=u(t)</math> pode ser escrito como:
+{{ bluemath |1=<math> $\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y}\end{pmatrix}$  =  $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$  $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ +  $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ u(t) </math>}}
+A aplicação da fórmula para a condição inicial no instante <math>t=0</math>, lembrando que <math>\exp(tA)= $\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ </math>, nos dá
+{{ bluemath |1=<math> $\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$  =  $\begin{pmatrix} x_0 + y_0t + \int_0^t (t-s)u(s)ds \\ y_0 + \int_0^t u(s)ds \end{pmatrix}$ </math>}}
+== Controlabilidade ==
+Antes de abordar controlabilidade convém falar de dois tópicos:
+=== Controles admissíveis ===
+[[Arquivo:map2321-trans.png|frame|right|Translação nos controles]]
+[[Arquivo:map2321-concat.png|frame|right|Concatenação de controles]]
+A controlabilidade estuda a relação entre os controles e os pontos atingíveis no espaço de estados. Por isso é importante dar algumas propriedades estruturais do conjunto dos controles. Nesta disciplina chamaremos de '''Conjunto dos controles admissíveis'''
+o seguinte:
+{{ bluemath | 1=<math>\mathcal{U}= \{ u:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^m: \text{ localmente integraveis }\}</math>}}
+Este conjunto tem as seguintes propriedades:
+# É um espaço vetorial,
+# É invariante pelo sistema dinâmico de translação <math>\theta_t</math>
+# É fechado pela concatenação <math>\wedge_{t_0}</math> para todo <math>t_0\in \mathbb{R}</math>
+# Contém a família das funções constantes por partes
+Um subconjunto de <math>\mathcal{U}</math> com estas quatro propriedades também pode ser chamado de um conjunto de controles admissíveis e alteraria um pouco o estudo da controlabilidade. Este conjunto que vamos usar pode ser pensado como o maior conjunto de controles admissíveis.
+A translação é definida como:
+{{ bluemath |1= <math>\theta_t(u)(s)=u(s-t)</math>}}
+e a concatenação no tempo <math>t_0</math> é definida assim
+{{ bluemath | 1=<math>(u\wedge_{t_0}v)(s) =
+\left\{  $\begin{array}{cl} u(s) & \text{ se } s\leq t_0 \\ v(s) & \text{ se } s > t_0 \end{array}$ \right.</math>
+}}
+=== Propriedades da aplicação de transição de estados ===
+Para os sistemas de controle contínuos de forma geral,  aplicação de transição de estados é uma aplicação:
+{{ bluemath |<math>\phi: \mathbb{R} \times \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \times \mathcal{U} \to \mathbb{R}^n</math>}}
+Satisfazendo as propriedades:
+* <math>\phi(t,t,x_0,u(\cdot))=x_0</math>, chamada de compatibilidade.
+* <math>\phi(t_2, t_1, \phi(t_1,t_0,x_0,u(\cdot)),v(\cdot))=\phi(t_2,t_0,x_0,u\wedge_{t_1}v(\cdot))</math>, sistema dinâmico.
+* <math>\phi(t_1,t_0,x_0,u(\cdot))</math> só depende do valor de <math>u(t)</math> no intervalo <math>[t_0,t_1]</math>
+No caso dos sistemas lineares independentes do tempo temos
+{{ bluemath |1=<math>\phi(t,t_0,x_0,u(\cdot))=\exp((t-t_0)A)x_0+ \int_{t_0}^t \exp((t-s)A)Bu(s)ds</math>}}
+e neste caso temos ainda as seguintes propriedades:
+*<math>\phi(t,t_0,x_0,u(\cdot)) =\phi(t,t_0,x_0, 0) + \phi(t_1,t_0,0,u(\cdot)) </math>: decomposição entre dinâmica livre e controlada
+*<math>\phi(t,t_0,x_0 + x_1,u(\cdot)+ v(\cdot)) =    \phi(t,t_0,x_0,u(\cdot))+   \phi(t,t_0,x_1,v(\cdot)) </math>: princípio da superposição
+*<math>  \phi(t,t_0,x_0,\theta_{t_0}u(\cdot))= \phi(t-t_0,0,x_0,u(\cdot)) </math>: invariante no tempo.
+Esta última propriedade é que nos justifica o estudo da controlabilidade só quando o tempo inicial é <math>0</math>
+Se <math>a</math> e <math>b</math> são dois pontos do espaço de estados <math>\mathbb{R}^n</math>, dizemos que <math>b</math> é '''atingível''' em tempo
+<math>T</math> a partir de <math>a</math> se existir um controle admissível <math>u(t)\in \mathcal{U}</math> tal que
+{{ bluemath | 1=<math>\phi(T,0,a,u(\cdot))=b</math>}}
+Nesta caso dizemos também que o controle <math>u</math> transfere <math>a</math> para <math>b</math> em tempo <math>T</math>. O conjunto de todos os pontos atingíveis a partir de <math>a</math> em tempo <math>T>0</math> será denotado por <math>\mathcal{A}(a,T)</math>.
+No  caso do sistema linear é fácil verificar que
+{{ bluemath | 1=<math>\mathcal{A}(a,T)= \exp(tA)a + \mathcal{A}(0,T) </math>}}
+Diremos que o sistema é '''controlável''' quando <math>  \mathcal{A}(0,T) = \mathbb{R}^n</math>.
+=== Matriz de controlabilidade ===
+Note que o conjunto <math>  \mathcal{A}(0,T)</math> depende apenas das matrizes <math>A</math>, <math>B</math> do tempo <math>T>0</math> e da família de controles admissíveis. Quando o sistema for controlável diremos que o par <math>(A,B)</math> é controlável.
+Definiremos a matriz de controlabilidade de <math>(A,B)</math> (ou do sistema ) como
+{{ bluemath | 1=<math>Q_T=\int_0^T \exp(sA)BB^\prime \exp(sA^\prime)ds</math>}}
+esta matriz é simétrica, semidefinida positiva. Se for definida positiva então é invertível e neste caso o par <math>(A,B)</math> é controlável.
+Basta verificar que para qualquer vetor do espaço de estados <math>\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n</math> temos que o controle
+{{ bluemath |1= <math>\hat{u}(s)=B^\prime\exp((T-s)A^\prime)Q_T^{-1}\mathbf{b} </math>}}
+transfere a origem para <math>\mathbf{b}</math> em tempo <math>T</math>
+Assim <math>Q_T</math> ser invertível é uma condição suficiente para a controlabilidade. veremos que é também necessária.
+Se o núcleo <math>Q_T</math> tem um elemento <math>\mathbf{v} \neq 0</math> então <math><Q_T\mathbf{v},\mathbf{v}> = \int_0^T ||B^\prime \exp(sA^\prime)\mathbf{v}||^2ds=0</math>. Pela analiticidade do integrando temos <math> B^\prime \exp(sA^\prime)\mathbf{v} = 0 \forall s  </math>.
+Neste caso temos que para todo controle admissível <math>u(\cdot)\in \mathcal{U}</math>
+{{ bluemath | 1=<math>\int_0^T <\exp((T-s)A)Bu(s)u(s),\mathbf{v}>ds =0</math>}}
+e isto significa que o vetor <math>\mathbf{v}</math> não é acessível pois é ortogonal ao conjunto de atingibilidade de <math>0</math>. Portanto para o sistema ser controlável é necessário que a matriz <math>Q_T</math> seja invertível.
+=== Exercício resolvido ===
+Verificar se é controlável o seguinte sistema:
+{{ bluemath | 1= <math>\dot{ $\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$  } = \begin{bmatrix}
+& 0 & -1\\
+& 1 & 0\\
+& 0 & -1
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+x_1\\
+x_2\\
+x_3
+\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
+\\
+\\
+\end{bmatrix}u
+</math>}}
+<math>Q_{T} = \int_0^T e^{sA}BB'e^{sA'}ds</math>
+<math>
+A = \begin{bmatrix}
+& 0 & -1\\
+& 1 & 0\\
+& 0 & -1
+\end{bmatrix};
+A^2 = \begin{bmatrix}
+-1 & 0 & 0\\
+& 1 & 0\\
+& 0 & -1
+\end{bmatrix};
+A^3 = \begin{bmatrix}
+-1 & 0 & 1\\
+& 1 & 0\\
+-2 & 0 & 1
+\end{bmatrix};
+A^4 = I;</math>
+<math>e^{sA} = I + sA + \frac{s^2 A^2}{2!} + \frac{s^3 A^3}{3!} + ...</math>
+<math>e^{sA} = \begin{bmatrix}
+\sin{(s)} + \cos{(s)} & 0 & -\sin{(s)}\\
+& e^s & 0\\
+\sin{(s)} & 0 & -\sin{(s)}+\cos{(s)}
+\end{bmatrix};
+</math>
+<math>e^{sA'} = \begin{bmatrix}
+\sin{(s)} + \cos{(s)} & 0 & 2\sin{(s)}\\
+& e^s & 0\\
+-\sin{(s)} & 0 & -\sin{(s)}+\cos{(s)}
+\end{bmatrix};
+</math>
+<math>Q_T = \int_0^T \begin{bmatrix}
+\sin{(s)} + \cos{(s)} & 0 & -\sin{(s)}\\
+& e^s & 0\\
+\sin{(s)} & 0 & -\sin{(s)}+\cos{(s)}
+\end{bmatrix}  $\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$   $\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$  \begin{bmatrix}
+\sin{(s)} + \cos{(s)} & 0 & 2\sin{(s)}\\
+& e^s & 0\\
+-\sin{(s)} & 0 & -\sin{(s)}+\cos{(s)}
+\end{bmatrix}ds</math>
+<math>Q_T = \int_0^T \begin{bmatrix} \sin^2{(s)} & 0 & \sin^2{(s)} - \sin{(s)} . \cos{(s)} \\
+& 0 & 0 \\
+\sin^2{(s)} - \sin{(s)} . \cos{(s)} & 0 & (\cos{(s)} - \sin{(s)})^2 \end{bmatrix}ds</math>
+{{ bluemath |1= <math>det{Q_T} = 0 \Rightarrow </math>sistema não é controlável. }}
+=== Critério de controlabilidade de Kalman ===
+Definimos o operador linear:
+{{ bluemath |1=<math>\mathcal{L}_T(u(\cdot))=\int_0^T \exp(sA)Bu(s)ds</math>}}
+Verifica-se facilmente que o par <math>(A,B)</math> é controlável quando a imagem deste operador linear é o espaço de estados <math>\mathbb{R}^n</math>.
+Como o espaço vetorial <math>\mathcal{U}</math> é de dimensão infinita este operador não tem uma representação matricial.
+Mas se considerarmos o operador
+{{ bluemath | 1=<math> \mathbf{l}_{(A,B)}: \mathbb{R}^m\times\cdots\times\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n </math>}}
+definido como
+{{ bluemath | 1=<math> \mathbf{l}_{(A,B)}(u_0,\dots,u_{n-1})= Bu_0+ABu_1+\cdots + A^{n-1}Bu_{n-1}</math>}}
+com o auxilio do teorema de [[:en:Cayley_hamilton_theorem | Cayley-Hamilton]] podemos mostrar que para qualquer par de matrizes <math>(A,B)</math> as imagens dos operadores
+<math>\mathbf{l}_{(A,B)} </math> e <math>\mathcal{L}_T </math> coincidem. Neste caso a dimensão da imagem do <math>\mathbf{l}_{(A,B)} </math> é o posto de sua matriz de representação numa base qualquer. Na base canônica a matriz de representação é a '''matriz de Kalman'''
+{{ bluemath |1=<math>\mathbb{K}_{(A,B)} = [B (AB) \cdots (A^{n-1}B)]\in \mathbb{R}^{n\times nm}</math>}}
+Assim o par <math>(A,B)</math> é controlável se e somente se o posto de <math>\mathbb{K}_{(A,B)}</math> for <math>n</math>.
+=== Forma Normal de Kalman, ou decomposição de Kalman. ===
+Suponha que a dimensão da imagem do operador <math>\mathbf{l}_{(A,B)}</math> seja um número <math>k</math> estritamente menor que a dimensão do espaço de estados. Observamos que o subespaço vetorial
+<math>V=\text{Im}(\mathbf{l}_{(A,B)})</math> é um subespaço invariante por <math>A</math> e que contém a imagem do operador <math>B</math>. Escolhendo uma base de <math>\mathbb{R}^n</math> adaptada a este subespaço teremos que nesta nova base o sistema <math>(A,B)</math> terá a forma <math>(\tilde{A}, \tilde{B})</math> com
+{{ bluemath | 1=<math>\tilde{A} =  $\begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} \\ \mathbf{0} & A_{22} \end{pmatrix}$ </math>
+<math>\tilde{B} =  $\begin{pmatrix}B_1 \\ 0 \end{pmatrix}$ </math> }}
+onde <math>A_{11} \in \mathbb{R}^{k\times k}</math>, <math> A_{12} \in \mathbb{R}^{k\times (n-k)}</math>,
+<math>A_{22} \in \mathbb{R}^{(n-k)\times (n-k)}</math> e <math>B_{1} \in \mathbb{R}^{k\times m} </math>.
+Além disso o par <math>(A_{11},B_1)</math> é controlável. Esta é a '''forma normal de Kalman'''
+É fácil obter as relações
+{{ bluemath |1= <math>\tilde{A} = P^{-1}AP</math>
+<math>\tilde{B}=P^{-1}B</math> }}
+onde <math>P</math> é a matriz de mudança de base da base adaptada para a base canônica.
+Sempre que tivermos esta relação dizemos que os pares <math>(A,B)</math>   e <math>(\tilde{A},\tilde{B})</math>
+são equivalentes.
+=== Observabilidade ===
+Retomemos a equação do sistema linear
+{{ bluemath |1=<math>\dot{x}=Ax + Bu</math>
+<math>y=Cx</math>}}
+e verificamos a relação entre as condições iniciais do espaço de estado e a saída do sistema.
+A questão é: dado o controle admissível podemos identificar o estado inicial do sistema a partir da saída <math>y(t)</math>. Diremos que os sistema é '''observável''' em tempo <math> T</math> se para quaisquer par de estados <math>x_a</math> e <math>x_b</math> diferentes, as respectivas funções de saída <math>y_a(t)</math> e
+<math>y_b(t)</math> também diferem. Ou seja: existe <math>t \in [0,T]</math> tal que <math>y_a(t)-y_b(t)\neq 0</math>.
+Temos que <math>y_a(t)-y_b(t)=C\exp(tA)(x_a-x_b)</math>, daí concluímos que o sistema é observável em tempo <math>T</math>, ou o par <math>(A,C)</math> é observável, se e somente se, <math>C\exp(tA)\mathbf{x} \neq 0</math>
+para todo <math>\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n</math>.
+Definimos a '''matriz de observabilidade ''':
+{{ bluemath |1=<math>R_T=\int_0^T \exp(sA^\prime)C^\prime C \exp(sA)ds</math>}}
+Então verificamos que
+{{ bluemath | 1= <math>\int_0^T \norm{C\exp(sA)\mathbf{x} }^2ds= < R_T \mathbf{x},\mathbf{x}></math>}}
+donde o par <math>(A,C)</math> é observável se e somente se <math>R_T</math> for invertível.
+Como a matriz de observabilidade de <math>(A,C)</math> é exatamente a matriz de controlabilidade de
+<math>(A^\prime,C^\prime)</math> temos as relações de dualidade.
+O sistema anterior e observável se e somente se o '''sistema dual'''
+{{ bluemath |1=<math>\dot{z} = A^\prime z + C^\prime v</math>
+<math>w=B^\prime z</math>}} for controlável.
+Analogamente ao caso da controlabilidade podemos escrever os critérios de Kalman para a observabilidade:
+o par <math>(A,C)</math> é observável quando a matriz de kalman de observabilidade <math>np\times n</math>
+{{ bluemath |1= <math>\mathbb{O}_{(A,C)}= $\begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1}\end{bmatrix}$ </math>}}
+tem posto máximo.
+== Estabilidade de Sistemas Lineares ==
+===matrizes estáveis===
+Diremos que uma matriz <math>A \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> é '''estável''', ou o sistema linear <math>\dot{x}=Ax</math> é estável quando
+para todo vetor <math>x \in \mathbb{R}^n</math> temos que:
+{{ bluemath | 1=<math>\lim_{t\to \infty} \exp(tA)x = 0</math>}}
+(<math>0</math> ''é assintóticamente estável em  EDO'')
+O conceito de estabilidade não depende das mudanças de base no espaço de estados e se <math>A</math> é estável todas as matrizes equivalentes são estáveis. Para determinar a estabilidade de uma matriz analisamos o conjunto dos autovalores desta matriz.
+:<math>\sigma(A)=\{ \lambda \in \mathbb{C}: \det(A-\lambda \mathbf{I})=0\}</math> é o conjunto dos autovalores de <math>A</math>
+:<math>\omega(A)=\sup\{ \text{Re}(\lambda) : \lambda \in \sigma(A) \}</math>
+A matriz <math>A</math> é estável se e somente se <math>\omega(A) < 0</math>
+=== Polinômios estáveis ===
+Como vimos antes, determinamos a estabilidade de uma matriz <math>A</math> estudando as raizes de seu polinômio característico. De uma forma geral
+diremos que um polinômio
+{{ bluemath |1= <math>p(z) = z^n + a_1z^{n-1}+ \cdots + a_n</math> }}
+é '''estável''' se todas as raízes deste polinômio têm a parte real negativa.
+Os polinômios de graus 1 e 2, do tipo acima, são estáveis se e somente se os coeficientes <math>a_i</math> forem todos positivos.
+Uma condição necessária para que um polinômio geral como o acima (líder=1) seja estável é que todos os coeficientes <math>a_i</math> sejam positivos. Mas esta condição não é mais suficiente se o grau do polinômio for maior que 2.
+=== Critério de Routh ===
+Dado um polinômio <math>p(z)</math> como acima, com coeficientes reais, e supondo que a condição necessária esteja satisfeita, podemos escrever
+{{ bluemath | 1=<math>p(\mathbf{i}x) = U(x) + \mathbf{i}V(x)</math> }}
+Note que se <math>n</math> é par então grau de <math>U</math> é <math>n</math> e grau de <math>V</math> é <math>n-1</math> sendo os líderes dos dois polinômios de sinais opostos.
+Se se <math>n</math> é impar então grau de <math>U</math> é <math>n-1</math> e grau de <math>V</math> é <math>n</math> sendo os líderes dos dois polinômios de mesmo sinal.
+Construimos agora uma sequência de polinômios <math>f_1,f_2,\dots , f_k</math> da seguinte forma: Se <math>n</math> é par então <math>f_1(x)=U(x)</math>
+e <math>f_2(x)=V(x)</math>; se <math>n</math> for ímpar <math>f_1(x)=V(x)</math> e <math>f_2(x)=-U(x)</math>. Os outros termos da sequência são obtidos pela aplicação do algorítmo de Euclides da seguinte forma
+{{ bluemath | 1=<math>f_{i-1}(x)= \alpha_i(x)f_{i}(x) - f_{i+1}(x)</math>}}
+a sequência pára quando <math>f_k(x)=c</math>.
+O critério de Routh diz que o polinômio <math>p(z)</math> é estável se e somente se a sequência <math>f_1,\dots,f_k</math> tem <math>n+1</math> elementos (<math>k=n+1</math>) e os sinais dos líderes dos polinômios <math>f_i</math> vão se alternando.
+=== Matrizes de Routh ===
+O '''produto de Routh''' de duas sequências de números reais, <math>(\alpha_i)_{i\in \mathbb{N}}</math>, <math>(\beta_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> e uma terceira sequência <math>(\gamma_i)_{i\in \mathbb{N}}</math> definida da seguinte forma:
+{{ bluemath | 1=<math>\gamma_k=\frac{-1}{\beta_1}\text{det}  $\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_{k+1} \\ \beta_1 & \beta_{k+1}\end{bmatrix}$ </math>}}
+Vamos denotar isso como <math>\gamma = R(\alpha,\beta)</math>. Com um polinômio de grau <math>n</math>, <math>p(z)=z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_n</math>, definimos duas sequências
+{{ bluemath |1= <math>\sigma^1: 1, a_2, a_4, \dots , 0, 0, \dots</math>
+<math>\sigma^2: a_1, a_3, \dots, 0, 0, \dots</math>}}
+A matriz de Routh de um polinômio, <math>p</math>, será uma matrix em que cada linha será uma sequência quase-nula. A primeira linha será a sequência
+a sequência <math>\sigma^1</math>, a segunda será a sequência <math>\sigma^2</math>. A <math>k-</math>ésima linha será <math>\sigma^k=R(\sigma^{k-2},\sigma^{k-1})</math>. Uma variação do critério de Routh acima é:
+ O polinômio <math>p(z)</math> com todos os coeficientes positivos é estável se e somente se a matriz de Routh tem exatamente <math>n+1</math> linhas
+ com o primeiro termo não nulo e todos os termos da primeira coluna são positivos.
+=== Estabilização de sistemas lineares ===
+Diremos que um par de matrizes <math>(A,B)</math> associado a um sistema linear é '''estabilizável''' se existir uma matriz <math>K\in\mathbb{R}^{m\times n}</math> tal que a matriz <math>A+BK</math> fique estável.
+Diremos que um par <math>(A,B)</math> é '''completamente estabilizável''' quando para qualquer <math>\omega \in \mathbb{R}</math> dado, existe uma matriz
+<math>K\in\mathbb{R}^{m\times n}</math> tal que <math>\omega(A+BK)< \omega</math>
+{{ bluemath | 1= São equivalentes
+# <math>(A,B)</math> é completamente estabilizável.
+# <math>(A,B)</math> é controlável.
+# Dado qualquer polinômio <math>p(z)=z^n+a_1z^{n-1}+\cdots + a_n</math>, existe uma matriz <math>K\in\mathbb{R}^{m\times n}</math> talque o polinômio característico da matriz <math>A+BK</math> seja exatamente <math>p(z)</math> }}
 == Um pouco de funções analíticas ==
 === Números complexos ===
-Em primeiro lugar, nos interessa dois aspectos do conjunto dos ''números coplexos'': sua característica algébrica de um '''corpo comutativo completo''', e sua característica topológica de um
+Em primeiro lugar, nos interessa dois aspectos do conjunto dos ''números complexos'': sua característica algébrica de um '''corpo comutativo completo''', e sua característica topológica de um
 '''espaço normado'''
@@ Linha 15: / Linha 492: @@
 Note que a soma é completamente compatível com a estrutura de espaço vetorial de  <math> \mathbb{C} </math>. Também é fácil verificar as propriedades associativas, comutativas e distributivas das operações.
+--[[Usuário:Patonelli|Patonelli]] 15h25min de 12 de setembro de 2009 (UTC)
+==== A estrutura topológica ====
+Uma outra propriedade de <math>\mathbb{C}</math> que vai nos interessar é sua estrutura topológica. Definimos no espaço a norma
+<math>|z| = \sqrt{z\bar{z}}</math> definindo assim uma topologia compatível com a estrutura de <math>\mathbb{R}^2</math>.
 == Integração complexa ==
-== Transformada de Laplace ==
+== [[:pt :transformada_de_laplace |Transformada de Laplace]] ==
-== Resolução de sistemas lineares ==
-== Controlabilidade e Observabilidade ==
-== Estabilização de sistemas ==
-== Realização de sistemas lineares ==