Mudanças entre as edições de "Função Gama de Euler"
De Stoa
Brunobatista (disc | contribs) |
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| Linha 11: | Linha 11: | ||
<math>\frac{d}{dt} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds \right) = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{t}\right) \Rightarrow \int\limits_0^\infty \frac{\partial}{\partial t} \left(e^{-st}ds\right) = -\frac{1}{t^2} \Rightarrow \int\limits_0^\infty se^{-st}ds = \frac{1}{t^2}</math> ,br. | <math>\frac{d}{dt} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds \right) = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{t}\right) \Rightarrow \int\limits_0^\infty \frac{\partial}{\partial t} \left(e^{-st}ds\right) = -\frac{1}{t^2} \Rightarrow \int\limits_0^\infty se^{-st}ds = \frac{1}{t^2}</math> ,br. | ||
Tomando derivadas de ordem superior da expressão <math>(2)</math>, obtem-se o seguinte resultado: <br> | Tomando derivadas de ordem superior da expressão <math>(2)</math>, obtem-se o seguinte resultado: <br> | ||
| − | <math> \frac{d^n}{dt^n} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds\right) = \frac{1\cdot2\cdots n}{t^{n | + | <math> \frac{d^n}{dt^n} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds\right) = \frac{1\cdot2\cdots n}{t^{n+1}} \Rightarrow \int\limits_0^\infty s^ne^{-st}ds = \frac{n!}{t^{n+1}} </math> |
==Bibliografia== | ==Bibliografia== | ||
[http://euler.mat.ufrgs.br/~brietzke/gamma/gamma.html http://euler.mat.ufrgs.br/~brietzke/gamma/gamma.html] | [http://euler.mat.ufrgs.br/~brietzke/gamma/gamma.html http://euler.mat.ufrgs.br/~brietzke/gamma/gamma.html] | ||
Edição das 10h46min de 4 de setembro de 2009
Introdução
A Função Gama (também designada por Função 
) foi concebida pelo ilustríssimo físico, astrônomo e matemático suiço Leonhard P. Euler (1707 - 1783) para estender a noção defatorial para números não-naturais.
Construindo a Função Gama
Consideremos o seguinte resultado, que decorre do Cálculo Integral Elementar:
Introduzindo a mudança de variável 
(que implica em 
) na expressão acima, obtem-se:
Fazendo a derivada da expressão anterior em relação a t (servindo-se da regra de Leibniz para isso, consegue-se:
,br.
Tomando derivadas de ordem superior da expressão 
, obtem-se o seguinte resultado:
