Mudanças entre as edições de "Função Gama de Euler"
Brunobatista (disc | contribs) |
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| Linha 7: | Linha 7: | ||
<math>\int\limits_0^\infty e^{-r}dr = -e^{-r}\Bigg|_0^\infty = 1\quad(1)</math> <br> | <math>\int\limits_0^\infty e^{-r}dr = -e^{-r}\Bigg|_0^\infty = 1\quad(1)</math> <br> | ||
Introduzindo a mudança de variável <math>r = st</math> (que implica em <math> dr=tds </math>) na expressão acima, obtem-se: <br> | Introduzindo a mudança de variável <math>r = st</math> (que implica em <math> dr=tds </math>) na expressão acima, obtem-se: <br> | ||
| − | <math>\int\limits_0^\infty te^{-st}ds = 1 \ | + | <math>\int\limits_0^\infty te^{-st}ds = 1 \Rightarrow \int\limits_0^\infty e^{-st}ds = \frac{1}{t}\quad(2)</math> <br> |
Fazendo a derivada da expressão anterior em relação a t (servindo-se da regra de Leibniz para isso, consegue-se: <br> | Fazendo a derivada da expressão anterior em relação a t (servindo-se da regra de Leibniz para isso, consegue-se: <br> | ||
<math>\frac{d}{dt} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds \right) = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{t}\right) \Rightarrow \int\limits_0^\infty \frac{\partial}{\partial t} \left(e^{-st}ds\right) = -\frac{1}{t^2} \Rightarrow \int\limits_0^\infty se^{-st}ds = \frac{1}{t^2}</math> <br> | <math>\frac{d}{dt} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds \right) = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{t}\right) \Rightarrow \int\limits_0^\infty \frac{\partial}{\partial t} \left(e^{-st}ds\right) = -\frac{1}{t^2} \Rightarrow \int\limits_0^\infty se^{-st}ds = \frac{1}{t^2}</math> <br> | ||
Edição das 11h27min de 4 de setembro de 2009
Introdução
A Função Gama (também designada por Função 
) foi concebida pelo ilustríssimo físico, astrônomo e matemático suiço Leonhard P. Euler (1707 - 1783) para estender a noção de fatorial para números não-naturais.
Construindo a Função Gama
Consideremos o seguinte resultado, que decorre do Cálculo Integral Elementar:
Introduzindo a mudança de variável 
(que implica em 
) na expressão acima, obtem-se:
Fazendo a derivada da expressão anterior em relação a t (servindo-se da regra de Leibniz para isso, consegue-se:
Tomando derivadas de ordem superior da expressão 
, obtem-se o seguinte resultado:
Por fim, fazendo 
, obtem-se uma função 
), de domínio igual ao conjunto dos reais positivos (é possível estender o domínio dessa função para os reais negativos, mas isso vai além dos propósitos introdutórios deste texto) e que, para x natural, satisfaz a condição: 
. Esta função é:
Tradicionalmente, porém, a função gama de Euler é definida de um outro modo, que é o seguinte:
Ademais, se x for um número natural, obtem-se a seguinte relação entre a função gama e a operação fatorial:
