Mudanças entre as edições de "Função Gama de Euler"
De Stoa
Brunobatista (disc | contribs) |
Brunobatista (disc | contribs) |
||
| (9 edições intermediárias de um usuário não apresentadas) | |||
| Linha 1: | Linha 1: | ||
==Introdução== | ==Introdução== | ||
| − | A ''Função Gama'' (também designada por ''Função'' <math>\Gamma</math>) foi concebida pelo ilustríssimo físico, astrônomo e matemático suiço Leonhard P. [http://pt.wikipedia.ofg/wiki/Leonhard_Euler Euler] (1707 - 1783) para estender a noção de[http://pt.wikipedia.org/wiki/Fatorial fatorial] para números não-naturais. | + | A ''Função Gama'' (também designada por ''Função'' <math>\Gamma</math>) foi concebida pelo ilustríssimo físico, astrônomo e matemático suiço Leonhard P. [http://pt.wikipedia.ofg/wiki/Leonhard_Euler Euler] (1707 - 1783) para estender a noção de [http://pt.wikipedia.org/wiki/Fatorial fatorial] para números não-naturais. |
| − | [[Arquivo:Euler.jpg|200px|thumb|right| O físico e matemático suiço Leonhard P. Euler.]] | + | [[Arquivo:Euler.jpg|200px|thumb|right| O físico e matemático suiço Leonhard P. Euler.]] |
==Construindo a Função Gama== | ==Construindo a Função Gama== | ||
| Linha 7: | Linha 7: | ||
<math>\int\limits_0^\infty e^{-r}dr = -e^{-r}\Bigg|_0^\infty = 1\quad(1)</math> <br> | <math>\int\limits_0^\infty e^{-r}dr = -e^{-r}\Bigg|_0^\infty = 1\quad(1)</math> <br> | ||
Introduzindo a mudança de variável <math>r = st</math> (que implica em <math> dr=tds </math>) na expressão acima, obtem-se: <br> | Introduzindo a mudança de variável <math>r = st</math> (que implica em <math> dr=tds </math>) na expressão acima, obtem-se: <br> | ||
| − | <math>\int\limits_0^\infty te^{-st}ds = 1 \ | + | <math>\int\limits_0^\infty te^{-st}ds = 1 \Rightarrow \int\limits_0^\infty e^{-st}ds = \frac{1}{t}\quad(2)</math> <br> |
Fazendo a derivada da expressão anterior em relação a t (servindo-se da regra de Leibniz para isso, consegue-se: <br> | Fazendo a derivada da expressão anterior em relação a t (servindo-se da regra de Leibniz para isso, consegue-se: <br> | ||
<math>\frac{d}{dt} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds \right) = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{t}\right) \Rightarrow \int\limits_0^\infty \frac{\partial}{\partial t} \left(e^{-st}ds\right) = -\frac{1}{t^2} \Rightarrow \int\limits_0^\infty se^{-st}ds = \frac{1}{t^2}</math> <br> | <math>\frac{d}{dt} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds \right) = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{t}\right) \Rightarrow \int\limits_0^\infty \frac{\partial}{\partial t} \left(e^{-st}ds\right) = -\frac{1}{t^2} \Rightarrow \int\limits_0^\infty se^{-st}ds = \frac{1}{t^2}</math> <br> | ||
Tomando derivadas de ordem superior da expressão <math>(2)</math>, obtem-se o seguinte resultado: <br> | Tomando derivadas de ordem superior da expressão <math>(2)</math>, obtem-se o seguinte resultado: <br> | ||
<math> \frac{d^n}{dt^n} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds\right) = \frac{1\cdot2\cdots n}{t^{n+1}} \Rightarrow \int\limits_0^\infty s^ne^{-st}ds = \frac{n!}{t^{n+1}} \quad(3)</math> <br> | <math> \frac{d^n}{dt^n} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds\right) = \frac{1\cdot2\cdots n}{t^{n+1}} \Rightarrow \int\limits_0^\infty s^ne^{-st}ds = \frac{n!}{t^{n+1}} \quad(3)</math> <br> | ||
| − | Por fim, fazendo <math>t = 1</math>, obtem-se uma função f(x), de domínio igual ao conjunto dos reais positivos (é possível estender o domínio dessa função para os reais negativos, mas isso vai além dos propósitos introdutórios deste texto) e que, para x natural, satisfaz a condição: <math>f(x) = x!</math>. Esta função é: | + | Por fim, fazendo <math>t = 1</math>, obtem-se uma função <math>f(x)</math>, de domínio igual ao conjunto dos reais positivos (é possível estender o domínio dessa função para os reais negativos, mas isso vai além dos propósitos introdutórios deste texto) e que, para x natural, satisfaz a condição: <math>f(x) = x!</math>. Esta função é: <br> |
| + | <math>f(x)= \int\limits_0^\infty s^xe^{-s}ds \quad(4)</math> <br> | ||
| + | Tradicionalmente, porém, a função gama de Euler é definida de um outro modo, que é o seguinte: <br> | ||
| + | <math>\Gamma(x) = f(x-1) = \int\limits_0^\infty s^{x-1}e^{-s}ds \quad(5)</math> <br> | ||
| + | Ademais, se x for um número natural, obtem-se a seguinte relação entre a função gama e a operação fatorial: <br> | ||
| + | <math>\Gamma(x)=(x-1)! \quad(6)</math> | ||
==Bibliografia== | ==Bibliografia== | ||
[http://euler.mat.ufrgs.br/~brietzke/gamma/gamma.html http://euler.mat.ufrgs.br/~brietzke/gamma/gamma.html] | [http://euler.mat.ufrgs.br/~brietzke/gamma/gamma.html http://euler.mat.ufrgs.br/~brietzke/gamma/gamma.html] | ||
Edição atual tal como às 11h27min de 4 de setembro de 2009
[editar] Introdução
A Função Gama (também designada por Função 
) foi concebida pelo ilustríssimo físico, astrônomo e matemático suiço Leonhard P. Euler (1707 - 1783) para estender a noção de fatorial para números não-naturais.
[editar] Construindo a Função Gama
Consideremos o seguinte resultado, que decorre do Cálculo Integral Elementar:
Introduzindo a mudança de variável 
(que implica em 
) na expressão acima, obtem-se:
Fazendo a derivada da expressão anterior em relação a t (servindo-se da regra de Leibniz para isso, consegue-se:
Tomando derivadas de ordem superior da expressão 
, obtem-se o seguinte resultado:
Por fim, fazendo 
, obtem-se uma função 
, de domínio igual ao conjunto dos reais positivos (é possível estender o domínio dessa função para os reais negativos, mas isso vai além dos propósitos introdutórios deste texto) e que, para x natural, satisfaz a condição: 
. Esta função é:
Tradicionalmente, porém, a função gama de Euler é definida de um outro modo, que é o seguinte:
Ademais, se x for um número natural, obtem-se a seguinte relação entre a função gama e a operação fatorial:
