Mudanças entre as edições de "Função Gama de Euler"
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Tomando derivadas de ordem superior da expressão <math>(2)</math>, obtem-se o seguinte resultado: <br> | Tomando derivadas de ordem superior da expressão <math>(2)</math>, obtem-se o seguinte resultado: <br> | ||
<math> \frac{d^n}{dt^n} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds\right) = \frac{1\cdot2\cdots n}{t^{n+1}} \Rightarrow \int\limits_0^\infty s^ne^{-st}ds = \frac{n!}{t^{n+1}} \quad(3)</math> <br> | <math> \frac{d^n}{dt^n} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds\right) = \frac{1\cdot2\cdots n}{t^{n+1}} \Rightarrow \int\limits_0^\infty s^ne^{-st}ds = \frac{n!}{t^{n+1}} \quad(3)</math> <br> | ||
| − | Por fim, fazendo <math>t = 1</math>, obtem-se uma função <math>f(x)</math> | + | Por fim, fazendo <math>t = 1</math>, obtem-se uma função <math>f(x)</math>, de domínio igual ao conjunto dos reais positivos (é possível estender o domínio dessa função para os reais negativos, mas isso vai além dos propósitos introdutórios deste texto) e que, para x natural, satisfaz a condição: <math>f(x) = x!</math>. Esta função é: <br> |
<math>f(x)= \int\limits_0^\infty s^xe^{-s}ds \quad(4)</math> <br> | <math>f(x)= \int\limits_0^\infty s^xe^{-s}ds \quad(4)</math> <br> | ||
Tradicionalmente, porém, a função gama de Euler é definida de um outro modo, que é o seguinte: <br> | Tradicionalmente, porém, a função gama de Euler é definida de um outro modo, que é o seguinte: <br> | ||
Edição atual tal como às 11h27min de 4 de setembro de 2009
[editar] Introdução
A Função Gama (também designada por Função 
) foi concebida pelo ilustríssimo físico, astrônomo e matemático suiço Leonhard P. Euler (1707 - 1783) para estender a noção de fatorial para números não-naturais.
[editar] Construindo a Função Gama
Consideremos o seguinte resultado, que decorre do Cálculo Integral Elementar:
Introduzindo a mudança de variável 
(que implica em 
) na expressão acima, obtem-se:
Fazendo a derivada da expressão anterior em relação a t (servindo-se da regra de Leibniz para isso, consegue-se:
Tomando derivadas de ordem superior da expressão 
, obtem-se o seguinte resultado:
Por fim, fazendo 
, obtem-se uma função 
, de domínio igual ao conjunto dos reais positivos (é possível estender o domínio dessa função para os reais negativos, mas isso vai além dos propósitos introdutórios deste texto) e que, para x natural, satisfaz a condição: 
. Esta função é:
Tradicionalmente, porém, a função gama de Euler é definida de um outro modo, que é o seguinte:
Ademais, se x for um número natural, obtem-se a seguinte relação entre a função gama e a operação fatorial:
