Função Gama de Euler

Introdução

A Função Gama (também designada por Função $\Gamma$) foi concebida pelo ilustríssimo físico, astrônomo e matemático suiço Leonhard P. Euler (1707 - 1783) para definir fatoriais para números não-naturais.

O físico e matemático suiço Leonhard P. Euler.

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Construindo a Função Gama

Consideremos o seguinte resultado, que decorre do Cálculo Integral Elementar:
$\int\limits_0^\infty e^{-r}dr = -e^{-r}\Bigg|_0^\infty = 1$
Introduzindo a mudança de variável $r = st$ (que implica em $dr=tds$) na expressão acima, obtem-se:
$\int\limits_0^\infty te^{-st}ds = 1 \rightarrow \int\limits_0^\infty e^{-st}ds = \frac{1}{t}$
Fazendo a derivada da expressão anterior em relação a t (servindo-se da regra de Leibniz para isso, consegue-se: