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Números no Computador

Muitos dos algoritmos de cálculo numérico, por uma questão prática, deverão ser executados numa máquina real. Nestas máquinas, no entanto, a capacidade de memória para representação dos números é finita. Vários números reais (infinitos, de fato) terão a mesma representação no computador (ou calculadora), daí originando-se os erros de arredondamentos. Vamos ver qual é a técnica usada atualmente para diminuir os erros de arredondamentos.

Representação de números inteiros numa base

Seja $\beta > 1$ um número natural. Então podemos representar qualquer número inteiro $k$ como a soma $$k= \text{sgn}(k)*a_0\beta^0 + \cdots + a_s \beta^s$$ onde cada algarismo $a_j$ representa um número natural entre $0$ e $\beta -1$. Só $a_s$ é diferente de zero. Esta representação é única. A representação de $k$ na base $\beta$ é $$k=\pm [a_s\dots a_0]_{\beta}$$ Deixando o sinal de $k$ de fora, para simplificar. Podemos calcular os algarismos do número daddo na base $\beta$ aplicando repetidas vezes o algoritmo da divisão. Escrevendo $$k = a_0 + \beta(a_1 +\beta( a_2 + \cdots +\beta a_s)\cdots ))$$ vemos que $a_0$ é o resto da divisão $k//\beta$, $a_1$ é o resto da divisão $(k-a_0)//\beta$ e assim por diante.

Exemplo: $39 = [100111]_2$

Representação de números fracionários e decimais numa base

Seja novamente $\beta > 1$ um número natural.

Se $x \in (0,1)$ então $$x= \frac{b_1}{\beta} + \cdots + \frac{b_k}{\beta^k} + \cdots$$ Diremos que $x=[0.b_1 b_2\dots]_{\beta}$ é a representação fracionária na base $\beta$ de $x$. Quando não houver dúvidas de que base se trata, omite-se a base da notação!

Exemplo: $0.9= [0.1110011001100...]_2$

Uma função para colocar um número decimal na forma binária

In[1]:

# -*- coding: utf-8 -*- """ Spyder Editor """ def binario(a):     # da a representacao binaria do numero a     ParteInteira = int(a)     ParteDecimal = a-int(a)     # representacao binaria da parte inteira     # a lista seguinte guarda os dígitos da parte inteira     ListaDigitos=[]     while (ParteInteira > 0):         ListaDigitos.append(ParteInteira%2)         ParteInteira=ParteInteira//2     # lista dos digitos depois da virgula     ListaResto=[]     k=1     while ((ParteDecimal!=0)&(k<50)):         ListaResto.append(int(2*ParteDecimal))         ParteDecimal=2*ParteDecimal - int(2*ParteDecimal)         k=k+1     # produz a string de representacao:             i=len(ListaDigitos)-1     p1=""     while (i>=0):         p1=p1+str(ListaDigitos[i])         i=i-1     # Depois disso p1 tem a parte inteira     l=0     p2=""     while (l<len(ListaResto)):         p2=p2+str(ListaResto[l])         l=l+1         return p1+"."+p2     print (binario(21.75))