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História da teoria de Controle

Vamos falar apenas resumidamente da evolução histórica dos sistemas de controle. Basicamente a origem da teoria de controle são os sistemas de regulagem, isto é, procura-se desenvolver um processo automático para que um sistema fique numa situação de equilíbrio. Assim um sensor detecta se o sistema está se desregulando e um controlador atuaria automaticamente para restabelecer o equilibrio. Claro que muitos mecanismos engenhosos foram desenvolvidos durante milênios para resolver este problema, porém um caso interessante era o de controle de velocidade de moinhos de vento. Huygens inventou um instrumento conhecido como flyball que na pratica resolvia o problema. Esta mesma idéia do flyball foi usada depois por Watt em máquinas a vapores (acho) para o controle de fluxo de vapor. Este modelo que funcionava na prática tinha um problema de excesso de vibração para velocidades muito altas. Foi Maxwell quem elaborou um modelo matemático para o flyball e colocou o problema de eliminação das vibrações como um problema de estabilização. Este foi, pode-se dizer, o primeiro problema matemático da teoria de controle.

No começo do século XX, o desenvolvimento das redes de comunicações telefônicas, propiciou o aparecimento de novos modelos e a utilização de métodos da teoria de funções a variáveis complexas para eliminação de ruídos e filtragens de sinais. Os trabalhos pioneiros nesta linha deveu-se a Black, Nyquist do grupo do laboratório Bell. O conjunto de métodos desenvolvidos por eles influenciou bastante a engenharia e é chamado de teoria de controle clássica. Isso foi mais ou menos em 1930. Depois da segunda guerra mundial os métodos de otimização ganharam importância e é um mérito da teoria de Pontriaguin o estudo da teoria de controle ótimo. O desenvolvimento da teoria de sistemas dinâmicos propiciou uma nova abordagem para os sistemas de controles lineares. Assim nas décadas de 1960 e 1970 desenvolveu-se bastante uma teoria estrutural dos sistemas de controle. E nesta abordagem "moderna" baseada no espaço de estados dos sistemas são importantes os conceitos de controlabilidade e observabilidade introduzidos por Kalman. No final do século passado desenvolveram-se os métodos geometricos para o estudo de sistema de controle não linear. Em todos estes tópicos há ainda pesquisa bastante ativa.

Um pouco de funções analíticas

Números complexos

Em primeiro lugar, nos interessa dois aspectos do conjunto dos números coplexos: sua característica algébrica de um corpo comutativo completo, e sua característica topológica de um espaço normado

A estrutura de corpo comutativo

$\mathbb{C}=\{ (a,b)\in \mathbb{R}^2\}$

com as seguintes operações de soma e produto:

1. Soma: $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
2. Multiplicação $(a,b).(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Note que a soma é completamente compatível com a estrutura de espaço vetorial de $\mathbb{C}$. Também é fácil verificar as propriedades associativas, comutativas e distributivas das operações.