Map2321

Se você quiser editar leia as Dicas de formatação deste wiki, e mãos à obra!.

Aspectos históricos da teoria de Controle

Em praticamente todos os sistemas da vida real há a possibilidade de intervenção que permite exercer algum controle sobre o sistema. Aspectos tecnológicos nos fazem procurar uma forma de exercer este controle automaticamente. É o que chamaremos de retroalimentação do sistema.

Basicamente a origem da teoria de controle são os sistemas de regulagem, isto é, procura-se desenvolver um processo automático para que um sistema fique numa situação de equilíbrio. Assim um sensor detecta se o sistema está se desregulando e um controlador atuaria automaticamente para restabelecer o equilibrio. Claro que muitos mecanismos engenhosos foram desenvolvidos durante milênios para resolver este problema, porém um caso interessante era o de controle de velocidade de moinhos de vento. Huygens inventou um instrumento conhecido como flyball que na pratica resolvia o problema. Esta mesma idéia do flyball foi usada depois por Watt em máquinas para o controle de fluxo de vapor. Este modelo que funcionava na prática tinha um problema de excesso de vibração para velocidades muito altas. Foi Maxwell quem elaborou um modelo matemático para o flyball e colocou o problema de eliminação das vibrações como um problema de estabilização. Este foi, pode-se dizer, o primeiro problema matemático da teoria de controle.

No começo do século XX, o desenvolvimento das redes de comunicações telefônicas, propiciou o aparecimento de novos modelos e a utilização de métodos da teoria de funções a variáveis complexas para eliminação de ruídos e filtragens de sinais. Os trabalhos pioneiros nesta linha deveu-se a Black, Bode e Nyquist do grupo do laboratório Bell. O conjunto de métodos desenvolvidos por eles influenciou bastante a engenharia e é chamado de teoria de controle clássica. Isso foi mais ou menos em 1930. Depois da segunda guerra mundial os métodos de otimização ganharam importância e é um mérito da teoria de Pontriaguin o estudo da teoria de controle ótimo. O desenvolvimento da teoria de sistemas dinâmicos propiciou uma nova abordagem para os sistemas de controles lineares. Assim nas décadas de 1960 e 1970 desenvolveu-se bastante uma teoria estrutural dos sistemas de controle. E nesta abordagem "moderna" baseada no espaço de estados dos sistemas são importantes os conceitos de controlabilidade e observabilidade introduzidos por Kalman. No final do século passado desenvolveram-se os métodos geometricos para o estudo de sistema de controle não linear. Em todos estes tópicos há ainda pesquisa bastante ativa. --Patonelli 15h27min de 24 de agosto de 2009 (UTC)patonelli

Exemplos de sistemas de controle

Um satélite simples num campo newtoniano

satélite num campo newtoniano

Uma partícula de massa $m$ está sob ação de um campo de acelerações central newtoniano. Além disso podemos colocar dois controles independentes, um na direção radial e outro na direção tangencial $u_{r}$ e $u_{\theta}$ respectivamente. A equação dinêmica deste sistema é dada pela segunda lei de Newton:

$m\ddot{\mathbf{r}}=(-\frac{k}{r^2}+u_r)\mathbf{e}_r + u_{\theta} \mathbf{e}_{\theta}$

fazendo a massa $m=1$ para que eu não tenha que ficar digitando coisas a mais. Podemos reecrever as equações em coordenadas polares como:

$\ddot{r} = r\dot{\theta}^2-\frac{k}{r^2}+u_r$ $r\ddot{\theta}= -2\dot{r}\dot{\theta} + u_{\theta}$

Estas duas equações nos dão um sistema de controle não linear com duas entradas de controle. Voltaremos a este exemplo quando falarmos de linearização. --Patonelli 21h10min de 22 de agosto de 2009 (UTC)patonelli

Um circuito elétrico

equações dos componentes elétricos

Na figura ao lado vemos as equações dinâmicas de alguns componentes elétricos: resistores, condensadores e indutores. Usaremos estas equações e as leis de Kirchoff dos nós e das malhas para escrever a relação dinâmica entre voltagem e corrente do circuito abaixo.

Circuito do exemplo

Chamaremos de $x_1$ a voltagem pelo capacitor $C$ do circuito, e de $x_2$ a corrente através do indutor $L$ Aplicando as leis constitutivas dos elementos e as leis de Kirchoff temos as relações dinâmicas

$\dot{x}_1 = -\frac{x_1}{R_1C} + \frac{v}{R_1C}$ $\dot{x}_2 = -\frac{x_2R_2}{L} + \frac{v}{L}$ $i(t)=-\frac{x_1}{R_1} + x_2 + v$

Neste caso $v(t)$ é a única entrada do sistema (e portanto o controle) e a corrente é a saída do sistema. Para encontrar a relação entre entrada e saída temos resolver uma equação diferencial nas variáveis $x_1$ e $x_2$, que podem ser interpretadas como variáveis auxiliares neste caso. --Patonelli 21h32min de 22 de agosto de 2009 (UTC)patonelli

Um modelo de economia

Num modelo simples podemos definir as seguintes variáveis:

$Y_n$ é a receita anual  no ano $n$
$C_n$ total do consumo no ano $n$
$I_n$ investimento no ano
$G_n$ gastos do governo

A equação dinâmica é determinada pelas seguintes relações entre as variáveis

$Y_n = C_n + I_n + G_n$ $C_n = f(Y_{n-1})$ O nível de consumo depende da receita do último ano. $I_n = g(C_n-C_{n-1})$ Investimentos dependem da variação de consumo.

O controle do sistema é $G_n$. A equação a diferenças finitas fica

$Y_n = f(Y_{n-1}) + g(f(Y_{n-1} - f(Y_{n-2})) + G_n$

--Patonelli 23h04min de 22 de agosto de 2009 (UTC)patonelli

Um pouco de funções analíticas

Números complexos

Em primeiro lugar, nos interessa dois aspectos do conjunto dos números coplexos: sua característica algébrica de um corpo comutativo completo, e sua característica topológica de um espaço normado

A estrutura de corpo comutativo

$\mathbb{C}=\{ (a,b)\in \mathbb{R}^2\}$

com as seguintes operações de soma e produto:

1. Soma: $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
2. Multiplicação $(a,b).(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Note que a soma é completamente compatível com a estrutura de espaço vetorial de $\mathbb{C}$. Também é fácil verificar as propriedades associativas, comutativas e distributivas das operações.

Realização de sistemas lineares

--Patonelli 00h34min de 21 de agosto de 2009 (UTC)