Função Gama de Euler

Introdução

A Função Gama (também designada por Função $\Gamma$ ) foi concebida pelo ilustríssimo físico, astrônomo e matemático suiço Leonhard P. Euler (1707 - 1783) para estender a noção defatorial para números não-naturais.

O físico e matemático suiço Leonhard P. Euler.

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Construindo a Função Gama

Consideremos o seguinte resultado, que decorre do Cálculo Integral Elementar:
$\int\limits_0^\infty e^{-r}dr = -e^{-r}\Bigg|_0^\infty = 1\quad(1)$
Introduzindo a mudança de variável $r = st$ (que implica em $dr=tds$ ) na expressão acima, obtem-se:
$\int\limits_0^\infty te^{-st}ds = 1 \rightarrow \int\limits_0^\infty e^{-st}ds = \frac{1}{t}\quad(2)$
Fazendo a derivada da expressão anterior em relação a t (servindo-se da regra de Leibniz para isso, consegue-se:
$\frac{d}{dt} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds \right) = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{t}\right) \Rightarrow \int\limits_0^\infty \frac{\partial}{\partial t} \left(e^{-st}ds\right) = -\frac{1}{t^2} \Rightarrow \int\limits_0^\infty se^{-st}ds = \frac{1}{t^2}$ ,br. Tomando derivadas de ordem superior da expressão $(2)$ , obtem-se o seguinte resultado:
$\frac{d^n}{dt^n} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds\right) = \frac{1\cdot2\cdots n}{t^{n+1}} \Rightarrow \int\limits_0^\infty s^ne^{-st}ds = \frac{n!}{t^{n+1}}$