Função Gama de Euler

Introdução

A Função Gama (também designada por Função $\Gamma$ ) foi concebida pelo ilustríssimo físico, astrônomo e matemático suiço Leonhard P. Euler (1707 - 1783) para estender a noção de fatorial para números não-naturais.

O físico e matemático suiço Leonhard P. Euler.

Construindo a Função Gama

Consideremos o seguinte resultado, que decorre do Cálculo Integral Elementar:
$\int\limits_0^\infty e^{-r}dr = -e^{-r}\Bigg|_0^\infty = 1\quad(1)$
Introduzindo a mudança de variável $r = st$ (que implica em $dr=tds$ ) na expressão acima, obtem-se:
$\int\limits_0^\infty te^{-st}ds = 1 \Rightarrow \int\limits_0^\infty e^{-st}ds = \frac{1}{t}\quad(2)$
Fazendo a derivada da expressão anterior em relação a t (servindo-se da regra de Leibniz para isso, consegue-se:
$\frac{d}{dt} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds \right) = \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{t}\right) \Rightarrow \int\limits_0^\infty \frac{\partial}{\partial t} \left(e^{-st}ds\right) = -\frac{1}{t^2} \Rightarrow \int\limits_0^\infty se^{-st}ds = \frac{1}{t^2}$
Tomando derivadas de ordem superior da expressão $(2)$ , obtem-se o seguinte resultado:
$\frac{d^n}{dt^n} \left(\int\limits_0^\infty e^{-st}ds\right) = \frac{1\cdot2\cdots n}{t^{n+1}} \Rightarrow \int\limits_0^\infty s^ne^{-st}ds = \frac{n!}{t^{n+1}} \quad(3)$
Por fim, fazendo $t = 1$ , obtem-se uma função $f(x)$ , de domínio igual ao conjunto dos reais positivos (é possível estender o domínio dessa função para os reais negativos, mas isso vai além dos propósitos introdutórios deste texto) e que, para x natural, satisfaz a condição: $f(x) = x!$ . Esta função é:
$f(x)= \int\limits_0^\infty s^xe^{-s}ds \quad(4)$
Tradicionalmente, porém, a função gama de Euler é definida de um outro modo, que é o seguinte:
$\Gamma(x) = f(x-1) = \int\limits_0^\infty s^{x-1}e^{-s}ds \quad(5)$
Ademais, se x for um número natural, obtem-se a seguinte relação entre a função gama e a operação fatorial:
$\Gamma(x)=(x-1)! \quad(6)$