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Tópicos de Matemática Aplicada [1]

Resumo das duas primeiras aulas

Nesta disciplina, uma equação a derivadas parciais (EDP) é uma relação entre uma variável dependente real (u) e variáveis independentes (duas ou mais) e as derivadas parciais de u com relação às suas variáveis independentes.

Exemplos 

u(t,x) + ux(t,x) + ut(t,x) = 0
exp(ux(t,x)) − sin(u(t,x)) = 3

O primeiro exemplo é uma equação linear de primeira ordem. O segundo exemplo é uma equação de primeira ordem as não linear. A ordem de uma EDP é o número de derivadas do termo em u que tem o maior número de derivadas. Se a relação que determina a EDP puder ser escrita como uma soma algébrica de termos A_1 + A_2 + \cdots + A_k

e em cada um destes termos Ai aparece apenas u ou uma derivada parcial de u de qualquer ordem multiplicada por um fator que pode ou não depender das variáveis independentes, diremos que esta equação é linear. Nesta disciplinas nos ocuparemso de algumas equações a derivadas parciais lineares que aparecem na matemática aplicada.

Resolver uma EDP é encontrar a relação de u com suas variáveis independentes de modo que se verifique a equação dada. De forma geral existem muitas soluções e além da equação, propriamente dita, são dadas outras condições complementares para a variável u chamadas condições de contorno.

O conjunto das soluções de uma EDP linear homogênea tem a propriedade da linearidade ou superposição: a soma de duas soluções é uma solução e o multiplo por um escalar de uma solução é outra solução.

Equação da corda vibrante

Na segunda aula fizemos a dedução da equação e uma corda vibrante

\frac{\partial u ^2 }{\partial^2 t} = c^2 \frac{\partial u ^2}{\partial^2 x}

onde c=\sqrt{\frac{T}{\rho}} Supondo tensão na corda T e densidade da corda ρ constantes.

Condições de fronteira para a corda vibrante

u(t,0) = u(t,L) = 0

Resumo das terceira e quarta aula

Podemos utilizar o método das variáveis separadas para resolver a equação da corda vibrante. O método consiste em procurar soluções da forma

u(t,x) = F(t).G(x)

Substituindo esta forma na EDP obtemos duas equações diferenciais ordinárias:

usando as condições de fronteira temos que:

G(x) = A\sin(\frac{n\pi}{L}x) e
F(t) = C\cos(\frac{n\pi c}{L}t) + D\sin(\frac{n\pi c}{L}t)

O princípio da superposição nos leva à busca de soluções expressas com séries

u(t,x) = \sum_{k=1} (A_k\cos(\frac{k\pi c}{L}t) + B_k\sin(\frac{k\pi c}{L}t))\sin(\frac{k\pi}{L}x)


--Patonelli 22h10min de 6 de Março de 2009 (UTC)

Resumo da quinta aula

Nesta aula falamos da Fórmula de D´ Alembert para a equação da onda unidimensional.

Temos a EDP:

\frac{\partial^2 u }{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u }{\partial x^2}

com as condições iniciais:

u(0,x) = f(x)
ut(0,x) = g(x)

Procurando soluções da forma u(t,x) = F(x + ct) + G(x − ct)

obtemos a fórmula de D´Alembert:

u(t,x)= \frac{1}{2}(f(x+ct) + f(x-ct) + \frac{1}{c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(s)ds)

Resumo da sexta aula

Se u(t,x) representa a densidade de alguma entidade física e \mathbf{F}(t,x) é o fluxo desta entidade numa secção transversal em x. Então uma lei de balanceamento da variação de densidade e compensação de fluxos dá orirem a uma lei de conservação local

u_t(t,x) + \mathbf{F}_x(t,x) = \varsigma(t,x)

No caso acima \varsigma(t,x) é uma fonte gerando a entidade física.

Um caso particular obtemos fazendo \mathbf{F} = -k u_x(t,x) obtendo neste caso a equação de difusão.

ut = kuxx

Resumo das sétima e oitava aulas

A equação do calor numa barra d comprimento L

ut = c2uxx

tem as condições de contorno:

u(t,0)=u(t,L)=0 \forall t
u(0,x)=f(x) x\in [0,L]

Resolve-se usando o método das variáveis separadas:

u(t,x) = F(t)G(x)

Das equações

(1) \dot{F}(t)=kc^2F(t)
(2) G^{\prime\prime}(x)=kG(x)

Obtemos para cada número inteiro n

u_n(t,x)= B_n\exp(\frac{(cn\pi)^2}{L}t)\sin(\frac{n\pi}{L}x)

De forma geral a solução se escreve

u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty u_k(t,x)

de forma que:

f(x) =\sum_{k=1}^\infty B_k \sin(\frac{k\pi}{L}x)

Série de Fourier

A série de Fourier de uma função de período 2L é:

f(x) = \frac{A_0}{2}+=\sum_{k=1}^\infty A_k\cos(\frac{k\pi}{L}x)+ B_k \sin(\frac{k\pi}{L}x)

onde

A_k=\frac{1}{L}\int_{-l}^Lf(x)\cos(\frac{k\pi}{L}x)dx
B_k=\frac{1}{L}\int_{-l}^Lf(x)\sin(\frac{k\pi}{L}x)dx

Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009

Docente : Pedro Aladar Tonelli

Provas : 7 de maio, 25 de junho e 2 de Julho

Média final: M = 0.8P + 0.2E onde P é a média das duas melhores provas e E é a média das listas de exercícios.

Disciplina no Moodle do STOA

Bibliografia:

E Kreysig  Matemática superior 
D G Figueiredo | Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais
  1. ↑ Informação do Júpiter

--Patonelli 14h12min de 16 de Fevereiro de 2009 (UTC)Pedro A Tonelli

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