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Tópicos de Matemática Aplicada

Resumo das duas primeiras aulas

Nesta disciplina, uma equação a derivadas parciais (EDP) é uma relação entre uma variável dependente real ($u$) e variáveis independentes (duas ou mais) e as derivadas parciais de $u$ com relação às suas variáveis independentes.

Exemplos

$u(t,x)+u_x(t,x)+u_t(t,x)=0$
$\exp(u_x(t,x))-\sin(u(t,x))= 3$

O primeiro exemplo é uma equação linear de primeira ordem. O segundo exemplo é uma equação de primeira ordem as não linear. A ordem de uma EDP é o número de derivadas do termo em $u$ que tem o maior número de derivadas. Se a relação que determina a EDP puder ser escrita como uma soma algébrica de termos $A_1 + A_2 + \cdots + A_k$

e em cada um destes termos $A_i$ aparece apenas $u$ ou uma derivada parcial de $u$ de qualquer ordem multiplicada por um fator que pode ou não depender das variáveis independentes, diremos que esta equação é linear. Nesta disciplinas nos ocuparemso de algumas equações a derivadas parciais lineares que aparecem na matemática aplicada.

Resolver uma EDP é encontrar a relação de $u$ com suas variáveis independentes de modo que se verifique a equação dada. De forma geral existem muitas soluções e além da equação, propriamente dita, são dadas outras condições complementares para a variável $u$ chamadas condições de contorno.

O conjunto das soluções de uma EDP linear homogênea tem a propriedade da linearidade ou superposição: a soma de duas soluções é uma solução e o multiplo por um escalar de uma solução é outra solução.

Equação da corda vibrante

Na segunda aula fizemos a dedução da equação e uma corda vibrante

$\frac{\partial u ^2 }{\partial^2 t} = c^2 \frac{\partial u ^2}{\partial^2 x}$

onde $c=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$ Supondo tensão na corda $T$ e densidade da corda $\rho$ constantes.

Condições de fronteira para a corda vibrante

$u(t,0)=u(t,L)=0$

Resumo das terceira e quarta aula

Podemos utilizar o método das variáveis separadas para resolver a equação da corda vibrante. O método consiste em procurar soluções da forma

$$u(t,x) = F(t).G(x)$$

Substituindo esta forma na EDP obtemos duas equações diferenciais ordinárias:

• ${G}^{\prime\prime}(x)= kG(x)$
• $\ddot{F}(t) = kc^2F(t)$

usando as condições de fronteira temos que:

$$G(x) = A\sin(\frac{n\pi}{L}x)$$ e $$F(t) = C\cos(\frac{n\pi c}{L}t) + D\sin(\frac{n\pi c}{L}t)$$

O princípio da superposição nos leva à busca de soluções expressas com séries

$$u(t,x) = \sum_{k=1} (A_k\cos(\frac{k\pi c}{L}t) + B_k\sin(\frac{k\pi c}{L}t))\sin(\frac{k\pi}{L}x)$$

--Patonelli 22h10min de 6 de Março de 2009 (UTC)

Resumo da quinta aula

Nesta aula falamos da Fórmula de D´ Alembert para a equação da onda unidimensional.

Temos a EDP $$\frac{\partial^2 u }{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u }{\partial x^2}$$

com as condições iniciais: $$u(0,x)=f(x)$$ $$u_t(0,x)=g(x)$$

Procurando soluções da forma $u(t,x)=F(x+ct) + G(x-ct)$

obtemos a fórmula de D´Alembert:
$$u(t,x)= \frac{1}{2}(f(x+ct) + f(x-ct) + \frac{1}{c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(s)ds)$$

Resumo da sexta aula

Se $u(t,x)$ representa a densidade de alguma entidade física e $\mathbf{F}(t,x)$ é o fluxo desta entidade numa secção transversal em $x$. Então uma lei de balanceamento da variação de densidade e compensação de fluxos dá orirem a uma lei de conservação local $$u_t(t,x) + \mathbf{F}_x(t,x) = \varsigma(t,x)$$ No caso acima $\varsigma(t,x)$ é uma fonte gerando a entidade física.

Um caso particular obtemos fazendo $\mathbf{F} = -k u_x(t,x)$ obtendo neste caso a equação de difusão. $$u_t = k u_{xx}$$

Resumo das sétima e oitava aulas

A equação do calor numa barra d comprimento $L$ $$u_t=c^2u_{xx}$$ tem as condições de contorno: $$u(t,0)=u(t,L)=0 \forall t$$ $$u(0,x)=f(x) x\in [0,L]$$ Resolve-se usando o método das variáveis separadas: $$u(t,x)=F(t)G(x)$$ Das equações

(1) $\dot{F}(t)=kc^2F(t)$

(2) $G^{\prime\prime}(x)=kG(x)$

Obtemos para cada número inteiro $n$ $$u_n(t,x)= B_n\exp(\frac{(cn\pi)^2}{L}t)\sin(\frac{n\pi}{L}x)$$ De forma geral a solução se escreve $$u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty u_k(t,x)$$ de forma que: $$f(x) =\sum_{k=1}^\infty B_k \sin(\frac{k\pi}{L}x)$$

Série de Fourier

A série de Fourier de uma função de período $2L$ é: $$f(x) = \frac{A_0}{2}+=\sum_{k=1}^\infty A_k\cos(\frac{k\pi}{L}x)+ B_k \sin(\frac{k\pi}{L}x)$$ onde $$A_k=\frac{1}{L}\int_{-l}^Lf(x)\cos(\frac{k\pi}{L}x)dx$$ $$B_k=\frac{1}{L}\int_{-l}^Lf(x)\sin(\frac{k\pi}{L}x)dx$$

Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009

Bibliografia:

E Kreysig  Matemática superior 
D G Figueiredo | Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais

--Patonelli 14h12min de 16 de Fevereiro de 2009 (UTC)Pedro A Tonelli