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== Experimento utilizando pêndulo simples ==

Os participantes do grupo são Débora, Diogo, Marcelo e Rafael


=== Objetivos da Experiência ===
O roteiro abaixo consiste de uma simples experiência com pêndulo simples para que se possa identificar as variáveis que influenciam no período de oscilação. Com este aparato é possível também calcular a aceleração gravidade no local onde o experimento é realizado. Faz parte do experimento a compreensão física das expressões envolvidas assim como os cálculos das [[:pt:incerteza|incertezas]] que ocorrem nas medições.

=== Introdução Teórica ===
[[:pt:Galileu Galilei|Galileu Galilei]] desenvolveu os primeiros estudos sistemáticos do movimento uniformemente acelerado e do movimento do pêndulo. [[Arquivo:Galileo.jpg|thumb|right|'''Galileu Galilei'''<br/>Descobriu a lei dos corpos e enunciou o princípio da inércia e o conceito de referencial inercial, ideias precursoras da mecânica newtoniana. 
O físico desenvolveu ainda vários instrumentos como o relógio de pêndulo.]] 
O pêndulo simples consiste num fio, considerado inextensível, tendo uma de suas extremidades fixada num certo ponto, e a outra com uma massa concentrada. Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo realizará oscilações em torno do eixo de rotação sob ação da [[:pt:gravidade|gravidade]]. Perceba que além da [[:pt:força peso|força peso]] há a tração aplicada da corda na massa em questão. 

	Seu movimento representa, portanto, um movimento oscilatório, de modo que haja uma periodicidade, que é o tempo para realizar uma oscilação.
	Para pequenos deslocamentos, ou seja, para valores pequenos do ângulo de abertura (ângulo entre a vertical e o fio inextensível), a força resultante é proporcional ao deslocamento, porém de sentido oposto. Tal característica representa o [[:pt:MHS|movimento harmônico simples]], daí, portanto pode se deduzir a fórmula do [[:pt:período|período]] do movimento.

Para facilitar, escolhe-se um sistema de referência com um dos eixos tangencial à trajetória do pêndulo e o outro perpendicular, ou seja, está na direção radial.
Decompondo a força peso P, será obtido uma componente radial <math>{mgcos\theta}</math> e outra tangencial <math>mgsen\theta</math>.
A direção radial da força resultante é a força centrípeta necessária para manter a massa na ponta do fio na trajetória circular. Já na direção tangencial, a força é restauradora e faz com que a massa tende a retornar à posição de equilíbrio.
Esta força restauradora é dada por
<math>{F=-mgsen\theta}</math>

Para ângulos muito pequenos, <math>\sin\theta \simeq \theta\,</math>, para o ângulo medido em radianos.

Assim      <math>{F = mg\theta}</math>                                                      


Pela segunda Lei de Newton: <math>{md^2\theta\over dt^2}=-{mg} \theta. </math>               [[Arquivo:pendulo1.gif|thumb|right|pêndulo simples]]

Como <math>{\theta}={x\over L}</math>     
<math>{d^2x\over dt^2} = -{mgx\over L}</math>

O termo <math>{mg\over L}</math> da expressão acima é constante e desempenha o mesmo papel da constante <math>{k}</math> usada no cálculo da [[:pt:Velocidade angular|velocidade angular]] de um movimento harmônico.
Desta maneira:

<math>{\omega} = {\sqrt{k\over m}} = {\sqrt{mg\over Lm}}</math>

Sabemos que a velocidade angular pode ser expressa também por:

<math>{{\omega} = {2\pi\over T}}</math>

Igualando as duas expressões logo acima, obtém se o período de oscilação do pêndulo:

<math>T = {2\pi\sqrt{L\over g}}</math>

Sendo conhecido o período de oscilação e o comprimento do fio, basta isolar g para que possa calculá-lo:

<math>g = {4\pi^2L\over T^2}</math>

===Relação dos Materiais===
#Bolinhas do pêndulo com as seguintes massas:
#*10g
#*33g
#*50g                                                                                       
#Fio inextensível                                  
#Cronômetro
#Trena
<gallery> 
Arquivo:pêndulo.jpg|Materiais
                                                   
                                                    
                                                      Arquivo:trena.jpg
                                                     Arquivo:cronometro.jpg

                                                    </gallery>

===Descrição Experimental===
O experimento do pêndulo simples consistirá em quatro procedimentos para verificação dos parâmetros que influenciam o período de oscilação (T) e o cálculo da aceleração da gravidade.

No primeiro procedimento, será observado se o período de oscilação depende do ângulo inicial. Utilizando uma bolinha de qualquer uma das massas e um fio com 65,5 cm de comprimento, deve se adotar ângulos iniciais de 5°, 10°, 15°, 20° e 30°. Meça com um cronômetro o tempo gasto de dez oscilações, obtendo o período de uma única oscilação utilizando o cálculo de média simples. Com os dados obtidos construa  uma tabela (1) e um gráfico (1) de Tx <math>\theta</math> onde <math>\theta</math> é o ângulo de amplitude inicial. A partir dos dados, é possível calcular a incerteza (<math>\sigma_m</math>) de cada medida obtida, o valor médio (<math>T_m</math>) de oscilação e sua respectiva incerteza (<math>\sigma_{media}</math>).

No segundo procedimento, será verificado se o período de oscilação do pêndulo depende da massa do corpo, no caso a bolinha. Adotando um ângulo inicial de amplitude de 10° e um fio com 65,5 cm de comprimento, utiliza-se no experimento bolinhas com 10 g, 33 g e 50 g. Realizando o mesmo método anterior para obter o período médio de oscilação de cada situação, obtém-se novamente o período de uma oscilação (com a ajuda de um cronômetro). Construa uma tabela (2)  com os dados e um gráfico (2) de TxM, onde M é a massa de cada bolinha. Com os dados obtidos, calcula-se a incerteza de cada medida de período (<math>\sigma_m</math>), o tempo médio de uma oscilação (<math>T_m</math>) e sua respectiva incerteza (<math>\sigma_{media}</math>).

No terceiro procedimento, será analisada a dependência do período de oscilação com o comprimento do fio. Utilizando  uma das bolinhas e adotando um ângulo inicial de amplitude de 10°, muda-se o comprimento do fio em 30cm, 60cm e 90cm e execute o mesmo processo anterior para encontrar o período médio para cada uma das situações. Com os valores, monta-se outra tabela (3) e um respectivo gráfico, mas desta vez o gráfico não é de TxL e sim um de T²xL,  pois assim, teoricamente, será encontrado uma reta, na qual o valor da aceleração da  gravidade é extraído do coeficiente angular da mesma. Além disso, como das outras vezes, calcula-se as incertezas das medidas (<math>\sigma_m</math>), o valor do período médio (<math>T_m</math>) de uma oscilação e sua incerteza (<math>\sigma_{media}</math>).

O último procedimento é feito apenas para a determinação do valor da aceleração da gravidade através da expressão matemática apresentada anteriormente. Então usou-se novamente uma bolinha qualquer, um ângulo de amplitude de 10° e um fio com 50 cm de comprimento. Com a ajuda do cronômetro se faz a medida do período (a média calculada como nos outros procedimentos) e por fim o cálculo da aceleração da gravidade.

=== Cálculos envolvidos no experimento ===

Nos procedimentos 1,2 e 3, para o cálculo do período médio usa-se apenas uma média aritmética dos valores de períodos obtidos com a expressão:
<math>T_m = {\dfrac{1}n\sum_{i=1}^n (T_i)}</math>, onde n é a quantidade de medidas realizadas.

Para as incertezas das medidas, usa-se a expressão do [[:pt:desvio padrão|desvio padrão]]:
<math>\sigma_m = \sqrt{\dfrac{1} {n-1} \sum_{i=1}^n (T_i - T_m)^2}</math>

e o desvio padrão da média é calculado com: <math>\sigma_{media} = {\sigma_m\over n}</math>
==== Obtenção de g através do procedimento 3 ====
Para a determinação de g através do procedimento 3, é preciso ter feito o gráfico proposto anteriormente, que no caso é uma reta. 

Analisando a expressão <math>T^2 = \dfrac{4\pi^2} {g} L</math>, observa-se que T² possui uma relação linear com L, no qual  <math>4\pi^2\over g</math> é o coeficiente da reta estudada.
Graficamente, o coeficiente angular é calculado por:
<math>a = {{T^2_f - T^2_i}\over {L_f - L_i}}</math>

Manipulando algebricamente, g é dado por:
<math>g = 4\pi^2 \dfrac {(L_f - L_i)} {(T^2_f - T^2_i)}</math>

==== Obtenção de g através do procedimento 4 ====

Para a determinação de g, basta trabalhar algebricamente a expressão do período, obtendo:

<math>g = 4\pi^2 \dfrac{L}T^2</math>

=== Observações ===

Com a construção dos três gráficos propostos percebe-se que para diversos ângulos de oscilações, os períodos obtidos são bem próximos, logo, a aproximação para ângulos pequenos é válida para valores até 30°. Variando a massa do corpo preso ao fio do pêndulo é possível perceber pela construção dos gráficos e tabelas que o período pouco varia, ilustrando a independência do período com relação à massa. Já utilizando diferentes comprimentos de fios, observa-se  a variação que este possui com o período.

Este experimento é interessante, pois é possível calcular g no local do experimento utilizando uma aparelhagem simples e não envolve cálculos muito difíceis.