Fap0459/textos/grupo Marcelo/Debora/Rafael/Diogo

Experimento utilizando pêndulo simples

Os participantes do grupo são Débora, Diogo, Marcelo e Rafael

Objetivos da Experiência

O roteiro abaixo consiste de uma simples experiência com pêndulo simples para que se possa identificar as variáveis que influenciam no período de oscilação. Com este aparato é possível também calcular a aceleração gravidade no local onde o experimento é realizado. Faz parte do experimento a compreensão física das expressões envolvidas assim como os cálculos das incertezas que ocorrem nas medições.

Introdução Teórica

Galileu Galilei desenvolveu os primeiros estudos sistemáticos do movimento uniformemente acelerado e do movimento do pêndulo.

Galileu Galilei
Descobriu a lei dos corpos e enunciou o princípio da inércia e o conceito de referencial inercial, ideias precursoras da mecânica newtoniana. O físico desenvolveu ainda vários instrumentos como o relógio de pêndulo.

O pêndulo simples consiste num fio, considerado inextensível, tendo uma de suas extremidades fixada num certo ponto, e a outra com uma massa concentrada. Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo realizará oscilações em torno do eixo de rotação sob ação da gravidade. Perceba que além da força peso há a tração aplicada da corda na massa em questão.

Seu movimento representa, portanto, um movimento oscilatório, de modo que haja uma periodicidade, que é o tempo para realizar uma oscilação. Para pequenos deslocamentos, ou seja, para valores pequenos do ângulo de abertura (ângulo entre a vertical e o fio inextensível), a força resultante é proporcional ao deslocamento, porém de sentido oposto. Tal característica representa o movimento harmônico simples, daí, portanto pode se deduzir a fórmula do período do movimento.

Para facilitar, escolhe-se um sistema de referência com um dos eixos tangencial à trajetória do pêndulo e o outro perpendicular, ou seja, está na direção radial. Decompondo a força peso P, será obtido uma componente radial ${mgcos\theta}$ e outra tangencial $mgsen\theta$. A direção radial da força resultante é a força centrípeta necessária para manter a massa na ponta do fio na trajetória circular. Já na direção tangencial, a força é restauradora e faz com que a massa tende a retornar à posição de equilíbrio. Esta força restauradora é dada por ${F=-mgsen\theta}$

Para ângulos muito pequenos, $\sin\theta \simeq \theta\,$, para o ângulo medido em radianos.

Assim ${F = mg\theta}$

Pela segunda Lei de Newton: ${md^2\theta\over dt^2}=-{mg} \theta.$

pêndulo simples

Como ${\theta}={x\over L}$ ${d^2x\over dt^2} = -{mgx\over L}$

O termo ${mg\over L}$ da expressão acima é constante e desempenha o mesmo papel da constante ${k}$ usada no cálculo da velocidade angular de um movimento harmônico. Desta maneira:

${\omega} = {\sqrt{k\over m}} = {\sqrt{mg\over Lm}}$

Sabemos que a velocidade angular pode ser expressa também por:

${{\omega} = {2\pi\over T}}$

Igualando as duas expressões logo acima, obtém se o período de oscilação do pêndulo:

$T = {2\pi\sqrt{L\over g}}$

Sendo conhecido o período de oscilação e o comprimento do fio, basta isolar g para que possa calculá-lo:

$g = {4\pi^2L\over T^2}$

Relação dos Materiais

1. Bolinhas do pêndulo com as seguintes massas:
   • 10g
   • 33g
   • 50g
2. Fio inextensível
3. Cronômetro
4. Trena

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  Materiais

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Descrição Experimental

O experimento do pêndulo simples consistirá em quatro procedimentos para verificação dos parâmetros que influenciam o período de oscilação (T) e o cálculo da aceleração da gravidade.

No primeiro procedimento, será observado se o período de oscilação depende do ângulo inicial. Utilizando uma bolinha de qualquer uma das massas e um fio com 65,5 cm de comprimento, deve se adotar ângulos iniciais de 5°, 10°, 15°, 20° e 30°. Meça com um cronômetro o tempo gasto de dez oscilações, obtendo o período de uma única oscilação utilizando o cálculo de média simples. Com os dados obtidos construa uma tabela (1) e um gráfico (1) de Tx $\theta$ onde $\theta$ é o ângulo de amplitude inicial. A partir dos dados, é possível calcular a incerteza ($\sigma_m$) de cada medida obtida, o valor médio ($T_m$) de oscilação e sua respectiva incerteza ($\sigma_{media}$).

No segundo procedimento, será verificado se o período de oscilação do pêndulo depende da massa do corpo, no caso a bolinha. Adotando um ângulo inicial de amplitude de 10° e um fio com 65,5 cm de comprimento, utiliza-se no experimento bolinhas com 10 g, 33 g e 50 g. Realizando o mesmo método anterior para obter o período médio de oscilação de cada situação, obtém-se novamente o período de uma oscilação (com a ajuda de um cronômetro). Construa uma tabela (2) com os dados e um gráfico (2) de TxM, onde M é a massa de cada bolinha. Com os dados obtidos, calcula-se a incerteza de cada medida de período ($\sigma_m$), o tempo médio de uma oscilação ($T_m$) e sua respectiva incerteza ($\sigma_{media}$).

No terceiro procedimento, será analisada a dependência do período de oscilação com o comprimento do fio. Utilizando uma das bolinhas e adotando um ângulo inicial de amplitude de 10°, muda-se o comprimento do fio em 30cm, 60cm e 90cm e execute o mesmo processo anterior para encontrar o período médio para cada uma das situações. Com os valores, monta-se outra tabela (3) e um respectivo gráfico, mas desta vez o gráfico não é de TxL e sim um de T²xL, pois assim, teoricamente, será encontrado uma reta, na qual o valor da aceleração da gravidade é extraído do coeficiente angular da mesma. Além disso, como das outras vezes, calcula-se as incertezas das medidas ($\sigma_m$), o valor do período médio ($T_m$) de uma oscilação e sua incerteza ($\sigma_{media}$).

O último procedimento é feito apenas para a determinação do valor da aceleração da gravidade através da expressão matemática apresentada anteriormente. Então usou-se novamente uma bolinha qualquer, um ângulo de amplitude de 10° e um fio com 50 cm de comprimento. Com a ajuda do cronômetro se faz a medida do período (a média calculada como nos outros procedimentos) e por fim o cálculo da aceleração da gravidade.

Cálculos envolvidos no experimento

Nos procedimentos 1,2 e 3, para o cálculo do período médio usa-se apenas uma média aritmética dos valores de períodos obtidos com a expressão: $T_m = {\dfrac{1}n\sum_{i=1}^n (T_i)}$, onde n é a quantidade de medidas realizadas.

Para as incertezas das medidas, usa-se a expressão do desvio padrão: $\sigma_m = \sqrt{\dfrac{1} {n-1} \sum_{i=1}^n (T_i - T_m)^2}$

e o desvio padrão da média é calculado com: $\sigma_{media} = {\sigma_m\over n}$

Obtenção de g através do procedimento 3

Para a determinação de g através do procedimento 3, é preciso ter feito o gráfico proposto anteriormente, que no caso é uma reta.

Analisando a expressão $T^2 = \dfrac{4\pi^2} {g} L$, observa-se que T² possui uma relação linear com L, no qual $4\pi^2\over g$ é o coeficiente da reta estudada. Graficamente, o coeficiente angular é calculado por: $a = {{T^2_f - T^2_i}\over {L_f - L_i}}$

Manipulando algebricamente, g é dado por: $g = 4\pi^2 \dfrac {(L_f - L_i)} {(T^2_f - T^2_i)}$

Obtenção de g através do procedimento 4

Para a determinação de g, basta trabalhar algebricamente a expressão do período, obtendo:

$g = 4\pi^2 \dfrac{L}T^2$

Observações

Com a construção dos três gráficos propostos percebe-se que para diversos ângulos de oscilações, os períodos obtidos são bem próximos, logo, a aproximação para ângulos pequenos é válida para valores até 30°. Variando a massa do corpo preso ao fio do pêndulo é possível perceber pela construção dos gráficos e tabelas que o período pouco varia, ilustrando a independência do período com relação à massa. Já utilizando diferentes comprimentos de fios, observa-se a variação que este possui com o período.

Este experimento é interessante, pois é possível calcular g no local do experimento utilizando uma aparelhagem simples e não envolve cálculos muito difíceis.