Processing math: 100%

Mudanças entre as edições de "Map2313"

De Stoa
Ir para: navegação, pesquisa
m (moveu Usuário:Patonelli:map2313 para Map2313: Esta página é para a disciplina, não de usuário)
(Resumo da quinta aula)
 
(17 edições intermediárias de 3 usuários não apresentadas)
Linha 1: Linha 1:
== Exemplos de equações a derivadas parciais ==
+
__MATHJAX__
== Soluções de Equações a derivadas parciais ==
+
 
 +
=Tópicos de Matemática Aplicada <ref> [https://sistemas2.usp.br/jupiterweb/obterDisciplina?sgldis=map2313 Informação do Júpiter]</ref>=
 +
== Resumo das duas primeiras aulas ==
 +
 
 +
Nesta disciplina, uma equação a derivadas parciais (EDP) é uma relação entre uma variável dependente real (<math>u</math>) e variáveis independentes
 +
(duas ou mais) e as derivadas parciais de <math>u</math> com relação às suas variáveis independentes.
 +
 
 +
=== Exemplos ===
 +
<math>u(t,x)+u_x(t,x)+u_t(t,x)=0</math>
 +
<math>\exp(u_x(t,x))-\sin(u(t,x))= 3</math>
 +
 
 +
O primeiro exemplo é uma equação linear de primeira ordem. O segundo exemplo é uma equação de primeira ordem as não linear.
 +
A ordem de uma EDP é o número de derivadas do termo em <math>u</math> que tem o maior número  de derivadas.
 +
Se a relação que determina a EDP puder ser escrita como uma soma algébrica de termos
 +
<math>A_1 + A_2 + \cdots + A_k</math>
 +
 
 +
e em cada um destes termos <math>A_i</math> aparece apenas <math>u</math> ou uma derivada parcial de <math>u</math> de qualquer ordem multiplicada
 +
por um fator que pode ou não depender das variáveis independentes, diremos que esta equação é linear. Nesta disciplinas nos ocuparemso de algumas equações a derivadas parciais lineares que aparecem na matemática aplicada.
 +
 
 +
Resolver uma EDP é encontrar a relação de <math>u</math> com suas variáveis independentes de modo que se verifique a equação dada. De forma geral existem muitas soluções e além da equação, propriamente dita, são dadas outras condições complementares para a variável <math>u</math> chamadas condições de contorno.
 +
 
 +
O conjunto das soluções de uma EDP linear homogênea tem a propriedade da linearidade ou superposição: a soma de duas soluções é uma solução e
 +
o multiplo por um escalar de uma solução é outra solução.
 +
 
 +
== Equação da corda vibrante ==
 +
Na segunda aula fizemos a dedução da equação e uma corda vibrante<br>
 +
 
 +
<math>\frac{\partial u ^2 }{\partial^2 t} = c^2 \frac{\partial u ^2}{\partial^2 x}</math>
 +
 
 +
onde <math>c=\sqrt{\frac{T}{\rho}}</math> Supondo tensão na corda <math>T</math> e densidade da corda <math>\rho</math> constantes.
 +
 
 +
=== Condições de fronteira para a corda vibrante ===
 +
<math>u(t,0)=u(t,L)=0</math>
 +
 
 +
== Resumo das terceira e quarta aula ==
 +
 
 +
Podemos utilizar o método das '''variáveis separadas''' para resolver a equação da corda vibrante. O método consiste em procurar soluções da forma
 +
 
 +
:<math> u(t,x) = F(t).G(x)</math>
 +
 
 +
Substituindo esta forma na EDP obtemos duas equações diferenciais ordinárias:
 +
 
 +
*<math>{G}^{\prime\prime}(x)= kG(x)</math>
 +
*<math>\ddot{F}(t) = kc^2F(t)</math>
 +
 
 +
usando as condições de fronteira temos que:
 +
 
 +
:<math>G(x) = A\sin(\frac{n\pi}{L}x)</math> e
 +
:<math>F(t) = C\cos(\frac{n\pi c}{L}t) + D\sin(\frac{n\pi c}{L}t)</math>
 +
 
 +
O princípio da superposição nos leva à busca de soluções expressas com séries
 +
 
 +
:<math>u(t,x) = \sum_{k=1} (A_k\cos(\frac{k\pi c}{L}t) + B_k\sin(\frac{k\pi c}{L}t))\sin(\frac{k\pi}{L}x)</math>
 +
 +
 
 +
--[[Usuário:Patonelli|Patonelli]] 22h10min de 6 de Março de 2009 (UTC)
 +
 
 +
== Resumo da quinta aula ==
 +
 
 +
Nesta aula falamos da '''Fórmula de D´ Alembert''' para a equação da onda unidimensional.
 +
 
 +
Temos a EDP:
 +
 
 +
<math>\frac{\partial^2 u  }{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u }{\partial x^2}</math>
 +
 
 +
com as condições iniciais:
 +
:<math>u(0,x)=f(x)</math>
 +
:<math>u_t(0,x)=g(x)</math>
 +
 
 +
Procurando soluções da forma <math>u(t,x)=F(x+ct) + G(x-ct)</math>
 +
 
 +
obtemos a fórmula de D´Alembert:<br>
 +
:<math>u(t,x)= \frac{1}{2}(f(x+ct) + f(x-ct) + \frac{1}{c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(s)ds)</math>
 +
__MATHJAX__
 +
 
 +
== Resumo da sexta aula ==
 +
 
 +
Se <math>u(t,x)</math> representa a densidade de alguma entidade física e <math>\mathbf{F}(t,x)</math> é o fluxo desta entidade numa secção transversal em <math>x</math>. Então uma lei de balanceamento da variação de densidade e compensação de fluxos dá orirem a uma lei de conservação local
 +
:<math>u_t(t,x) + \mathbf{F}_x(t,x) = \varsigma(t,x)</math>
 +
No caso acima <math>\varsigma(t,x)</math> é uma fonte gerando a entidade física. <br>
 +
 
 +
Um caso particular obtemos fazendo <math>\mathbf{F} = -k u_x(t,x)</math> obtendo neste caso a equação de difusão.
 +
:<math>u_t = k u_{xx}</math>
 +
 
 +
== Resumo das sétima e oitava aulas ==
 +
A equação do calor numa barra d comprimento <math>L</math>
 +
:<math>u_t=c^2u_{xx}</math>
 +
tem as condições de contorno:
 +
:<math>u(t,0)=u(t,L)=0 \forall t</math>
 +
:<math>u(0,x)=f(x) x\in [0,L]</math>
 +
Resolve-se usando o método das variáveis separadas:
 +
:<math>u(t,x)=F(t)G(x)</math>
 +
Das equações
 +
: (1) <math>\dot{F}(t)=kc^2F(t) </math>
 +
: (2) <math> G^{\prime\prime}(x)=kG(x)</math>
 +
Obtemos para cada número inteiro <math>n</math>
 +
: <math> u_n(t,x)= B_n\exp(\frac{(cn\pi)^2}{L}t)\sin(\frac{n\pi}{L}x) </math>
 +
De forma geral a solução se escreve
 +
:<math> u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty u_k(t,x) </math>
 +
de forma que:
 +
:<math> f(x) =\sum_{k=1}^\infty B_k \sin(\frac{k\pi}{L}x)</math>
 +
 
 +
=== Série de Fourier ===
 +
 
 +
A série de Fourier de uma função de período <math>2L</math> é:
 +
: <math>f(x) = \frac{A_0}{2}+=\sum_{k=1}^\infty A_k\cos(\frac{k\pi}{L}x)+ B_k \sin(\frac{k\pi}{L}x)</math>
 +
onde
 +
:<math> A_k=\frac{1}{L}\int_{-l}^Lf(x)\cos(\frac{k\pi}{L}x)dx </math>
 +
:<math> B_k=\frac{1}{L}\int_{-l}^Lf(x)\sin(\frac{k\pi}{L}x)dx </math>
 +
 
 +
= Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009 =
 +
== Docente : [http://www.ime.usp.br/~tonelli Pedro Aladar Tonelli] ==
 +
== Provas : 7 de maio, 25 de junho e 2 de Julho ==
 +
== Média final: <math>M=0.8P + 0.2E</math> onde <math>P</math> é a média das duas melhores provas e <math>E</math> é a média das listas de exercícios. ==
 +
== Disciplina no [http://moodle.stoa.usp.br Moodle do STOA]==
 +
== Bibliografia:==
 +
'''E Kreysig'''  Matemática superior
 +
'''D G Figueiredo''' [http://webold.impa.br/Publicacoes/Euclides/Fourier_edp/index.html | Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais]
 +
 +
<references/>
 +
--[[Usuário:Patonelli|Patonelli]] 14h12min de 16 de Fevereiro de 2009 (UTC)Pedro A Tonelli

Edição atual tal como às 00h48min de 12 de janeiro de 2013


Conteúdo

 [ocultar

[editar] Tópicos de Matemática Aplicada [1]

[editar] Resumo das duas primeiras aulas

Nesta disciplina, uma equação a derivadas parciais (EDP) é uma relação entre uma variável dependente real (u) e variáveis independentes (duas ou mais) e as derivadas parciais de u com relação às suas variáveis independentes.

[editar] Exemplos

u(t,x)+ux(t,x)+ut(t,x)=0
exp(ux(t,x))sin(u(t,x))=3

O primeiro exemplo é uma equação linear de primeira ordem. O segundo exemplo é uma equação de primeira ordem as não linear. A ordem de uma EDP é o número de derivadas do termo em u que tem o maior número de derivadas. Se a relação que determina a EDP puder ser escrita como uma soma algébrica de termos A1+A2++Ak

e em cada um destes termos Ai aparece apenas u ou uma derivada parcial de u de qualquer ordem multiplicada por um fator que pode ou não depender das variáveis independentes, diremos que esta equação é linear. Nesta disciplinas nos ocuparemso de algumas equações a derivadas parciais lineares que aparecem na matemática aplicada.

Resolver uma EDP é encontrar a relação de u com suas variáveis independentes de modo que se verifique a equação dada. De forma geral existem muitas soluções e além da equação, propriamente dita, são dadas outras condições complementares para a variável u chamadas condições de contorno.

O conjunto das soluções de uma EDP linear homogênea tem a propriedade da linearidade ou superposição: a soma de duas soluções é uma solução e o multiplo por um escalar de uma solução é outra solução.

[editar] Equação da corda vibrante

Na segunda aula fizemos a dedução da equação e uma corda vibrante

u22t=c2u22x

onde c=Tρ Supondo tensão na corda T e densidade da corda ρ constantes.

[editar] Condições de fronteira para a corda vibrante

u(t,0)=u(t,L)=0

[editar] Resumo das terceira e quarta aula

Podemos utilizar o método das variáveis separadas para resolver a equação da corda vibrante. O método consiste em procurar soluções da forma

u(t,x)=F(t).G(x)

Substituindo esta forma na EDP obtemos duas equações diferenciais ordinárias:

  • G(x)=kG(x)
  • ¨F(t)=kc2F(t)

usando as condições de fronteira temos que:

G(x)=Asin(nπLx) e F(t)=Ccos(nπcLt)+Dsin(nπcLt)

O princípio da superposição nos leva à busca de soluções expressas com séries

u(t,x)=k=1(Akcos(kπcLt)+Bksin(kπcLt))sin(kπLx)


--Patonelli 22h10min de 6 de Março de 2009 (UTC)

[editar] Resumo da quinta aula

Nesta aula falamos da Fórmula de D´ Alembert para a equação da onda unidimensional.

Temos a EDP2ut2=c22ux2

com as condições iniciais: u(0,x)=f(x) ut(0,x)=g(x)

Procurando soluções da forma u(t,x)=F(x+ct)+G(xct)

obtemos a fórmula de D´Alembert:
u(t,x)=12(f(x+ct)+f(xct)+1cx+ctxctg(s)ds)


[editar] Resumo da sexta aula

Se u(t,x) representa a densidade de alguma entidade física e F(t,x) é o fluxo desta entidade numa secção transversal em x. Então uma lei de balanceamento da variação de densidade e compensação de fluxos dá orirem a uma lei de conservação local ut(t,x)+Fx(t,x)=ς(t,x) No caso acima ς(t,x) é uma fonte gerando a entidade física.

Um caso particular obtemos fazendo F=kux(t,x) obtendo neste caso a equação de difusão. ut=kuxx

[editar] Resumo das sétima e oitava aulas

A equação do calor numa barra d comprimento L ut=c2uxx tem as condições de contorno: u(t,0)=u(t,L)=0t u(0,x)=f(x)x[0,L] Resolve-se usando o método das variáveis separadas: u(t,x)=F(t)G(x) Das equações

(1) ˙F(t)=kc2F(t)
(2) G(x)=kG(x)

Obtemos para cada número inteiro n un(t,x)=Bnexp((cnπ)2Lt)sin(nπLx) De forma geral a solução se escreve u(t,x)=k=1uk(t,x) de forma que: f(x)=k=1Bksin(kπLx)

[editar] Série de Fourier

A série de Fourier de uma função de período 2L é: f(x)=A02+=k=1Akcos(kπLx)+Bksin(kπLx) onde Ak=1LLlf(x)cos(kπLx)dx Bk=1LLlf(x)sin(kπLx)dx

[editar] Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009

[editar] Docente : Pedro Aladar Tonelli

[editar] Provas : 7 de maio, 25 de junho e 2 de Julho

[editar] Média finalM=0.8P+0.2E onde P é a média das duas melhores provas e E é a média das listas de exercícios.

[editar] Disciplina no Moodle do STOA

[editar] Bibliografia:

E Kreysig  Matemática superior 
D G Figueiredo | Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais

  1. Informação do Júpiter

--Patonelli 14h12min de 16 de Fevereiro de 2009 (UTC)Pedro A Tonelli

Ferramentas pessoais
Espaços nominais

Variantes
Ações
Navegação
Imprimir/exportar
Ferramentas