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+ | Se <math>u(t,x)</math> representa a densidade de alguma entidade física e <math>\mathbf{F}(t,x)</math> é o fluxo desta entidade numa secção transversal em <math>x</math>. Então uma lei de balanceamento da variação de densidade e compensação de fluxos dá orirem a uma lei de conservação local | ||
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+ | Um caso particular obtemos fazendo <math>\mathbf{F} = -k u_x(t,x)</math> obtendo neste caso a equação de difusão. | ||
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+ | tem as condições de contorno: | ||
+ | :<math>u(t,0)=u(t,L)=0 \forall t</math> | ||
+ | :<math>u(0,x)=f(x) x\in [0,L]</math> | ||
+ | Resolve-se usando o método das variáveis separadas: | ||
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+ | Das equações | ||
+ | : (1) <math>\dot{F}(t)=kc^2F(t) </math> | ||
+ | : (2) <math> G^{\prime\prime}(x)=kG(x)</math> | ||
+ | Obtemos para cada número inteiro <math>n</math> | ||
+ | : <math> u_n(t,x)= B_n\exp(\frac{(cn\pi)^2}{L}t)\sin(\frac{n\pi}{L}x) </math> | ||
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− | = | + | === Série de Fourier === |
− | <math>\frac{\ | + | A série de Fourier de uma função de período <math>2L</math> é: |
+ | : <math>f(x) = \frac{A_0}{2}+=\sum_{k=1}^\infty A_k\cos(\frac{k\pi}{L}x)+ B_k \sin(\frac{k\pi}{L}x)</math> | ||
+ | onde | ||
+ | :<math> A_k=\frac{1}{L}\int_{-l}^Lf(x)\cos(\frac{k\pi}{L}x)dx </math> | ||
+ | :<math> B_k=\frac{1}{L}\int_{-l}^Lf(x)\sin(\frac{k\pi}{L}x)dx </math> | ||
− | == | + | = Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009 = |
+ | == Docente : [http://www.ime.usp.br/~tonelli Pedro Aladar Tonelli] == | ||
+ | == Provas : 7 de maio, 25 de junho e 2 de Julho == | ||
+ | == Média final: <math>M=0.8P + 0.2E</math> onde <math>P</math> é a média das duas melhores provas e <math>E</math> é a média das listas de exercícios. == | ||
+ | == Disciplina no [http://moodle.stoa.usp.br Moodle do STOA]== | ||
+ | == Bibliografia:== | ||
+ | '''E Kreysig''' Matemática superior | ||
+ | '''D G Figueiredo''' [http://webold.impa.br/Publicacoes/Euclides/Fourier_edp/index.html | Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais] | ||
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<references/> | <references/> | ||
+ | --[[Usuário:Patonelli|Patonelli]] 14h12min de 16 de Fevereiro de 2009 (UTC)Pedro A Tonelli |
Edição atual tal como às 00h48min de 12 de janeiro de 2013
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[editar] Tópicos de Matemática Aplicada [1]
[editar] Resumo das duas primeiras aulas
Nesta disciplina, uma equação a derivadas parciais (EDP) é uma relação entre uma variável dependente real (u) e variáveis independentes (duas ou mais) e as derivadas parciais de u com relação às suas variáveis independentes.
[editar] Exemplos
u(t,x)+ux(t,x)+ut(t,x)=0 exp(ux(t,x))−sin(u(t,x))=3
O primeiro exemplo é uma equação linear de primeira ordem. O segundo exemplo é uma equação de primeira ordem as não linear. A ordem de uma EDP é o número de derivadas do termo em u que tem o maior número de derivadas. Se a relação que determina a EDP puder ser escrita como uma soma algébrica de termos A1+A2+⋯+Ak
e em cada um destes termos Ai aparece apenas u ou uma derivada parcial de u de qualquer ordem multiplicada por um fator que pode ou não depender das variáveis independentes, diremos que esta equação é linear. Nesta disciplinas nos ocuparemso de algumas equações a derivadas parciais lineares que aparecem na matemática aplicada.
Resolver uma EDP é encontrar a relação de u com suas variáveis independentes de modo que se verifique a equação dada. De forma geral existem muitas soluções e além da equação, propriamente dita, são dadas outras condições complementares para a variável u chamadas condições de contorno.
O conjunto das soluções de uma EDP linear homogênea tem a propriedade da linearidade ou superposição: a soma de duas soluções é uma solução e o multiplo por um escalar de uma solução é outra solução.
[editar] Equação da corda vibrante
Na segunda aula fizemos a dedução da equação e uma corda vibrante
∂u2∂2t=c2∂u2∂2x
onde c=√Tρ Supondo tensão na corda T e densidade da corda ρ constantes.
[editar] Condições de fronteira para a corda vibrante
u(t,0)=u(t,L)=0
[editar] Resumo das terceira e quarta aula
Podemos utilizar o método das variáveis separadas para resolver a equação da corda vibrante. O método consiste em procurar soluções da forma
u(t,x)=F(t).G(x)
Substituindo esta forma na EDP obtemos duas equações diferenciais ordinárias:
- G′′(x)=kG(x)
- ¨F(t)=kc2F(t)
usando as condições de fronteira temos que:
G(x)=Asin(nπLx) e F(t)=Ccos(nπcLt)+Dsin(nπcLt)
O princípio da superposição nos leva à busca de soluções expressas com séries
u(t,x)=∑k=1(Akcos(kπcLt)+Bksin(kπcLt))sin(kπLx)
--Patonelli 22h10min de 6 de Março de 2009 (UTC)
[editar] Resumo da quinta aula
Nesta aula falamos da Fórmula de D´ Alembert para a equação da onda unidimensional.
Temos a EDP∂2u∂t2=c2∂2u∂x2
com as condições iniciais: u(0,x)=f(x) ut(0,x)=g(x)
Procurando soluções da forma u(t,x)=F(x+ct)+G(x−ct)
obtemos a fórmula de D´Alembert:
u(t,x)=12(f(x+ct)+f(x−ct)+1c∫x+ctx−ctg(s)ds)
[editar] Resumo da sexta aula
Se u(t,x) representa a densidade de alguma entidade física e F(t,x) é o fluxo desta entidade numa secção transversal em x. Então uma lei de balanceamento da variação de densidade e compensação de fluxos dá orirem a uma lei de conservação local
ut(t,x)+Fx(t,x)=ς(t,x)
No caso acima ς(t,x) é uma fonte gerando a entidade física.
Um caso particular obtemos fazendo F=−kux(t,x) obtendo neste caso a equação de difusão. ut=kuxx
[editar] Resumo das sétima e oitava aulas
A equação do calor numa barra d comprimento L ut=c2uxx tem as condições de contorno: u(t,0)=u(t,L)=0∀t u(0,x)=f(x)x∈[0,L] Resolve-se usando o método das variáveis separadas: u(t,x)=F(t)G(x) Das equações
- (1) ˙F(t)=kc2F(t)
- (2) G′′(x)=kG(x)
Obtemos para cada número inteiro n un(t,x)=Bnexp((cnπ)2Lt)sin(nπLx) De forma geral a solução se escreve u(t,x)=∞∑k=1uk(t,x) de forma que: f(x)=∞∑k=1Bksin(kπLx)
[editar] Série de Fourier
A série de Fourier de uma função de período 2L é: f(x)=A02+=∞∑k=1Akcos(kπLx)+Bksin(kπLx) onde Ak=1L∫L−lf(x)cos(kπLx)dx Bk=1L∫L−lf(x)sin(kπLx)dx
[editar] Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009
[editar] Docente : Pedro Aladar Tonelli
[editar] Provas : 7 de maio, 25 de junho e 2 de Julho
[editar] Média finalM=0.8P+0.2E onde P é a média das duas melhores provas e E é a média das listas de exercícios.
[editar] Disciplina no Moodle do STOA
[editar] Bibliografia:
E Kreysig Matemática superior D G Figueiredo | Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais
--Patonelli 14h12min de 16 de Fevereiro de 2009 (UTC)Pedro A Tonelli