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(Tópicos de Matemática Aplicada Informação do Júpiter)
(Resumo da quinta aula)
 
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== Resumo das duas primeiras aulas ==
 
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obtemos a fórmula de D´Alembert:<br>
 
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== Resumo da sexta aula ==
 
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Um caso particular obtemos fazendo <math>\mathbf{F} = -k u_x(t,x)</math> obtendo neste caso a equação de difusão.
 
Um caso particular obtemos fazendo <math>\mathbf{F} = -k u_x(t,x)</math> obtendo neste caso a equação de difusão.
 
:<math>u_t = k u_{xx}</math>
 
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== Resumo das sétima e oitava aulas ==
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A equação do calor numa barra d comprimento <math>L</math>
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:<math>u_t=c^2u_{xx}</math>
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tem as condições de contorno:
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:<math>u(t,0)=u(t,L)=0 \forall t</math>
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Resolve-se usando o método das variáveis separadas:
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:<math>u(t,x)=F(t)G(x)</math>
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Das equações
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: (1) <math>\dot{F}(t)=kc^2F(t) </math>
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: (2) <math> G^{\prime\prime}(x)=kG(x)</math>
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Obtemos para cada número inteiro <math>n</math>
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: <math> u_n(t,x)= B_n\exp(\frac{(cn\pi)^2}{L}t)\sin(\frac{n\pi}{L}x) </math>
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De forma geral a solução se escreve
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:<math> u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty u_k(t,x) </math>
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de forma que:
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:<math> f(x) =\sum_{k=1}^\infty B_k \sin(\frac{k\pi}{L}x)</math>
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=== Série de Fourier ===
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A série de Fourier de uma função de período <math>2L</math> é:
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: <math>f(x) = \frac{A_0}{2}+=\sum_{k=1}^\infty A_k\cos(\frac{k\pi}{L}x)+ B_k \sin(\frac{k\pi}{L}x)</math>
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onde
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:<math> A_k=\frac{1}{L}\int_{-l}^Lf(x)\cos(\frac{k\pi}{L}x)dx </math>
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:<math> B_k=\frac{1}{L}\int_{-l}^Lf(x)\sin(\frac{k\pi}{L}x)dx </math>
  
 
= Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009 =
 
= Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009 =

Edição atual tal como às 00h48min de 12 de janeiro de 2013


Conteúdo

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[editar] Tópicos de Matemática Aplicada [1]

[editar] Resumo das duas primeiras aulas

Nesta disciplina, uma equação a derivadas parciais (EDP) é uma relação entre uma variável dependente real (u) e variáveis independentes (duas ou mais) e as derivadas parciais de u com relação às suas variáveis independentes.

[editar] Exemplos

u(t,x)+ux(t,x)+ut(t,x)=0
exp(ux(t,x))sin(u(t,x))=3

O primeiro exemplo é uma equação linear de primeira ordem. O segundo exemplo é uma equação de primeira ordem as não linear. A ordem de uma EDP é o número de derivadas do termo em u que tem o maior número de derivadas. Se a relação que determina a EDP puder ser escrita como uma soma algébrica de termos A1+A2++Ak

e em cada um destes termos Ai aparece apenas u ou uma derivada parcial de u de qualquer ordem multiplicada por um fator que pode ou não depender das variáveis independentes, diremos que esta equação é linear. Nesta disciplinas nos ocuparemso de algumas equações a derivadas parciais lineares que aparecem na matemática aplicada.

Resolver uma EDP é encontrar a relação de u com suas variáveis independentes de modo que se verifique a equação dada. De forma geral existem muitas soluções e além da equação, propriamente dita, são dadas outras condições complementares para a variável u chamadas condições de contorno.

O conjunto das soluções de uma EDP linear homogênea tem a propriedade da linearidade ou superposição: a soma de duas soluções é uma solução e o multiplo por um escalar de uma solução é outra solução.

[editar] Equação da corda vibrante

Na segunda aula fizemos a dedução da equação e uma corda vibrante

u22t=c2u22x

onde c=Tρ Supondo tensão na corda T e densidade da corda ρ constantes.

[editar] Condições de fronteira para a corda vibrante

u(t,0)=u(t,L)=0

[editar] Resumo das terceira e quarta aula

Podemos utilizar o método das variáveis separadas para resolver a equação da corda vibrante. O método consiste em procurar soluções da forma

u(t,x)=F(t).G(x)

Substituindo esta forma na EDP obtemos duas equações diferenciais ordinárias:

  • G(x)=kG(x)
  • ¨F(t)=kc2F(t)

usando as condições de fronteira temos que:

G(x)=Asin(nπLx) e F(t)=Ccos(nπcLt)+Dsin(nπcLt)

O princípio da superposição nos leva à busca de soluções expressas com séries

u(t,x)=k=1(Akcos(kπcLt)+Bksin(kπcLt))sin(kπLx)


--Patonelli 22h10min de 6 de Março de 2009 (UTC)

[editar] Resumo da quinta aula

Nesta aula falamos da Fórmula de D´ Alembert para a equação da onda unidimensional.

Temos a EDP2ut2=c22ux2

com as condições iniciais: u(0,x)=f(x) ut(0,x)=g(x)

Procurando soluções da forma u(t,x)=F(x+ct)+G(xct)

obtemos a fórmula de D´Alembert:
u(t,x)=12(f(x+ct)+f(xct)+1cx+ctxctg(s)ds)


[editar] Resumo da sexta aula

Se u(t,x) representa a densidade de alguma entidade física e F(t,x) é o fluxo desta entidade numa secção transversal em x. Então uma lei de balanceamento da variação de densidade e compensação de fluxos dá orirem a uma lei de conservação local ut(t,x)+Fx(t,x)=ς(t,x) No caso acima ς(t,x) é uma fonte gerando a entidade física.

Um caso particular obtemos fazendo F=kux(t,x) obtendo neste caso a equação de difusão. ut=kuxx

[editar] Resumo das sétima e oitava aulas

A equação do calor numa barra d comprimento L ut=c2uxx tem as condições de contorno: u(t,0)=u(t,L)=0t u(0,x)=f(x)x[0,L] Resolve-se usando o método das variáveis separadas: u(t,x)=F(t)G(x) Das equações

(1) ˙F(t)=kc2F(t)
(2) G(x)=kG(x)

Obtemos para cada número inteiro n un(t,x)=Bnexp((cnπ)2Lt)sin(nπLx) De forma geral a solução se escreve u(t,x)=k=1uk(t,x) de forma que: f(x)=k=1Bksin(kπLx)

[editar] Série de Fourier

A série de Fourier de uma função de período 2L é: f(x)=A02+=k=1Akcos(kπLx)+Bksin(kπLx) onde Ak=1LLlf(x)cos(kπLx)dx Bk=1LLlf(x)sin(kπLx)dx

[editar] Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009

[editar] Docente : Pedro Aladar Tonelli

[editar] Provas : 7 de maio, 25 de junho e 2 de Julho

[editar] Média finalM=0.8P+0.2E onde P é a média das duas melhores provas e E é a média das listas de exercícios.

[editar] Disciplina no Moodle do STOA

[editar] Bibliografia:

E Kreysig  Matemática superior 
D G Figueiredo | Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais

  1. Informação do Júpiter

--Patonelli 14h12min de 16 de Fevereiro de 2009 (UTC)Pedro A Tonelli

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