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obtemos a fórmula de D´Alembert:<br> | obtemos a fórmula de D´Alembert:<br> | ||
:<math>u(t,x)= \frac{1}{2}(f(x+ct) + f(x-ct) + \frac{1}{c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(s)ds)</math> | :<math>u(t,x)= \frac{1}{2}(f(x+ct) + f(x-ct) + \frac{1}{c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(s)ds)</math> | ||
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+ | == Resumo da sexta aula == | ||
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+ | Se <math>u(t,x)</math> representa a densidade de alguma entidade física e <math>\mathbf{F}(t,x)</math> é o fluxo desta entidade numa secção transversal em <math>x</math>. Então uma lei de balanceamento da variação de densidade e compensação de fluxos dá orirem a uma lei de conservação local | ||
+ | :<math>u_t(t,x) + \mathbf{F}_x(t,x) = \varsigma(t,x)</math> | ||
+ | No caso acima <math>\varsigma(t,x)</math> é uma fonte gerando a entidade física. <br> | ||
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+ | Um caso particular obtemos fazendo <math>\mathbf{F} = -k u_x(t,x)</math> obtendo neste caso a equação de difusão. | ||
+ | :<math>u_t = k u_{xx}</math> | ||
= Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009 = | = Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009 = |
Edição das 13h01min de 17 de março de 2009
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Tópicos de Matemática Aplicada [1]
Resumo das duas primeiras aulas
Nesta disciplina, uma equação a derivadas parciais (EDP) é uma relação entre uma variável dependente real () e variáveis independentes
(duas ou mais) e as derivadas parciais de
com relação às suas variáveis independentes.
Exemplos
O primeiro exemplo é uma equação linear de primeira ordem. O segundo exemplo é uma equação de primeira ordem as não linear.
A ordem de uma EDP é o número de derivadas do termo em que tem o maior número de derivadas.
Se a relação que determina a EDP puder ser escrita como uma soma algébrica de termos
e em cada um destes termos aparece apenas
ou uma derivada parcial de
de qualquer ordem multiplicada
por um fator que pode ou não depender das variáveis independentes, diremos que esta equação é linear. Nesta disciplinas nos ocuparemso de algumas equações a derivadas parciais lineares que aparecem na matemática aplicada.
Resolver uma EDP é encontrar a relação de com suas variáveis independentes de modo que se verifique a equação dada. De forma geral existem muitas soluções e além da equação, propriamente dita, são dadas outras condições complementares para a variável
chamadas condições de contorno.
O conjunto das soluções de uma EDP linear homogênea tem a propriedade da linearidade ou superposição: a soma de duas soluções é uma solução e o multiplo por um escalar de uma solução é outra solução.
Equação da corda vibrante
Na segunda aula fizemos a dedução da equação e uma corda vibrante
onde Supondo tensão na corda
e densidade da corda
constantes.
Condições de fronteira para a corda vibrante
Resumo das terceira e quarta aula
Podemos utilizar o método das variáveis separadas para resolver a equação da corda vibrante. O método consiste em procurar soluções da forma
Substituindo esta forma na EDP obtemos duas equações diferenciais ordinárias:
usando as condições de fronteira temos que:
e
O princípio da superposição nos leva à busca de soluções expressas com séries
--Patonelli 22h10min de 6 de Março de 2009 (UTC)
Resumo da quinta aula
Nesta aula falamos da Fórmula de D´ Alembert para a equação da onda unidimensional.
Temos a EDP:
com as condições iniciais:
Procurando soluções da forma
obtemos a fórmula de D´Alembert:
Resumo da sexta aula
Se representa a densidade de alguma entidade física e
é o fluxo desta entidade numa secção transversal em
. Então uma lei de balanceamento da variação de densidade e compensação de fluxos dá orirem a uma lei de conservação local
No caso acima é uma fonte gerando a entidade física.
Um caso particular obtemos fazendo obtendo neste caso a equação de difusão.
Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009
Docente : Pedro Aladar Tonelli
Provas : 7 de maio, 25 de junho e 2 de Julho
Média final:
onde
é a média das duas melhores provas e
é a média das listas de exercícios.
Disciplina no Moodle do STOA
Bibliografia:
E Kreysig Matemática superior D G Figueiredo | Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais
--Patonelli 14h12min de 16 de Fevereiro de 2009 (UTC)Pedro A Tonelli