Mudanças entre as edições de "Map2313"
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Um caso particular obtemos fazendo <math>\mathbf{F} = -k u_x(t,x)</math> obtendo neste caso a equação de difusão. | Um caso particular obtemos fazendo <math>\mathbf{F} = -k u_x(t,x)</math> obtendo neste caso a equação de difusão. | ||
:<math>u_t = k u_{xx}</math> | :<math>u_t = k u_{xx}</math> | ||
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| + | == Resumo das sétima e oitava aulas == | ||
| + | A equação do calor numa barra d comprimento <math>L</math> | ||
| + | :<math>u_t=c^2u_{xx}</math> | ||
| + | tem as condições de contorno: | ||
| + | :<math>u(t,0)=u(t,L)=0 \forall t</math> | ||
| + | :<math>u(0,x)=f(x) x\in [0,L]</math> | ||
| + | Resolve-se usando o método das variáveis separadas: | ||
| + | :<math>u(t,x)=F(t)G(x)</math> | ||
| + | Das equações | ||
| + | : (1) <math>\dot{F}(t)=kc^2F(t) </math> | ||
| + | : (2) <math> G^{\prime\prime}(x)=kG(x)</math> | ||
| + | Obtemos para cada número inteiro <math>n</math> | ||
| + | : <math> u_n(t,x)= B_n\exp(\frac{(cn\pi)^2}{L}t)\sin(frac{n\pi}{L}x) </math> | ||
| + | De forma geral a solução se escreve | ||
| + | :<math> u(t,x)=\sum_{k=1}^\infty u_k(t,x) </math> | ||
| + | de forma que: | ||
| + | :<math> f(x) =\sum_{k=1}^\infty B_k \sin(frac{k\pi}{L}x)</math> | ||
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| + | === Série de Fourier === | ||
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| + | A série de Fourier de uma função de período <math>2L</math> é: | ||
| + | : <math>f(x) = \frac{A_0}{2}+=\sum_{k=1}^\inftyA_k\cos(\frac{k\pi}{L}x)+ B_k \sin(frac{k\pi}{L}x)</math> | ||
| + | onde | ||
| + | :<math> A_k=\frac{1}{L}\int_{-l}^Lf(x)\cos(\frac{k\pi}{L}x)dx </math> | ||
| + | :<math> B_k=\frac{1}{L}\int_{-l}^Lf(x)\sin(\frac{k\pi}{L}x)dx </math> | ||
= Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009 = | = Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009 = | ||
Edição das 21h44min de 6 de abril de 2009
Conteúdo[ocultar] |
Tópicos de Matemática Aplicada [1]
Resumo das duas primeiras aulas
Nesta disciplina, uma equação a derivadas parciais (EDP) é uma relação entre uma variável dependente real (
) e variáveis independentes
(duas ou mais) e as derivadas parciais de com relação às suas variáveis independentes.
Exemplos
O primeiro exemplo é uma equação linear de primeira ordem. O segundo exemplo é uma equação de primeira ordem as não linear.
A ordem de uma EDP é o número de derivadas do termo em que tem o maior número de derivadas.
Se a relação que determina a EDP puder ser escrita como uma soma algébrica de termos
e em cada um destes termos 
aparece apenas ou uma derivada parcial de de qualquer ordem multiplicada
por um fator que pode ou não depender das variáveis independentes, diremos que esta equação é linear. Nesta disciplinas nos ocuparemso de algumas equações a derivadas parciais lineares que aparecem na matemática aplicada.
Resolver uma EDP é encontrar a relação de com suas variáveis independentes de modo que se verifique a equação dada. De forma geral existem muitas soluções e além da equação, propriamente dita, são dadas outras condições complementares para a variável chamadas condições de contorno.
O conjunto das soluções de uma EDP linear homogênea tem a propriedade da linearidade ou superposição: a soma de duas soluções é uma solução e o multiplo por um escalar de uma solução é outra solução.
Equação da corda vibrante
Na segunda aula fizemos a dedução da equação e uma corda vibrante
onde 
Supondo tensão na corda 
e densidade da corda 
constantes.
Condições de fronteira para a corda vibrante
Resumo das terceira e quarta aula
Podemos utilizar o método das variáveis separadas para resolver a equação da corda vibrante. O método consiste em procurar soluções da forma
Substituindo esta forma na EDP obtemos duas equações diferenciais ordinárias:
usando as condições de fronteira temos que:
e
O princípio da superposição nos leva à busca de soluções expressas com séries
--Patonelli 22h10min de 6 de Março de 2009 (UTC)
Resumo da quinta aula
Nesta aula falamos da Fórmula de D´ Alembert para a equação da onda unidimensional.
Temos a EDP:
com as condições iniciais:
Procurando soluções da forma 
obtemos a fórmula de D´Alembert:
Resumo da sexta aula
Se 
representa a densidade de alguma entidade física e 
é o fluxo desta entidade numa secção transversal em 
. Então uma lei de balanceamento da variação de densidade e compensação de fluxos dá orirem a uma lei de conservação local
No caso acima 
é uma fonte gerando a entidade física.
Um caso particular obtemos fazendo 
obtendo neste caso a equação de difusão.
Resumo das sétima e oitava aulas
A equação do calor numa barra d comprimento 
tem as condições de contorno:
![u(0,x)=f(x) x\in [0,L]](/images/math/b/9/f/b9ff319a03e27c5eaeda72fad919cccc.png)
Resolve-se usando o método das variáveis separadas:
Das equações
- (1)
- (2)
Obtemos para cada número inteiro 
De forma geral a solução se escreve
de forma que:
Série de Fourier
A série de Fourier de uma função de período 
é:
- Falhou ao verificar gramática (O executável texvc não foi encontrado. Consulte math/README para instruções da configuração.): f(x) = \frac{A_0}{2}+=\sum_{k=1}^\inftyA_k\cos(\frac{k\pi}{L}x)+ B_k \sin(frac{k\pi}{L}x)
onde
Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009
Docente : Pedro Aladar Tonelli
Provas : 7 de maio, 25 de junho e 2 de Julho
Média final: 
onde 
é a média das duas melhores provas e 
é a média das listas de exercícios.
Disciplina no Moodle do STOA
Bibliografia:
E Kreysig Matemática superior D G Figueiredo | Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais
--Patonelli 14h12min de 16 de Fevereiro de 2009 (UTC)Pedro A Tonelli
