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[editar] Bobagens que não parecem chegar em lugar algum mas não saem da minha cabeça

[editar] Expansão para função de partição em baixas temperaturas

Imagine que se quer calcular $\displaystyle Z = \sum_{x} e^{-\beta E(x)}$ para $\beta = \frac{1}{T} \to\infty$ . Escreva como $Z = \int e^{-E/T} \rho(E) dE$ , onde $\rho(E) = \sum_{x} \delta(E - E(x))$ . Note que:

$\int e^{-\frac{Ax^2}{2}+ B x} dx = \sqrt{\frac{2\pi}{A}}e^{\frac{B^2}{2A}}$

Então, se $B = i\sqrt{2E}$ e $\displaystyle T = A$ temos $e^{-\frac{E}{T}} = \int du \exp\left[-\frac{T u^2}{2}- i\sqrt{2E} u\right]$ e então:

$Z = \int du\; e^{-\frac{Tu^2}{2}} \int dE \; e^{-i\sqrt{2E} u} \rho(E)$

vamos chamar $\Xi(u) = \int dE e^{-i\sqrt{2E}u} \rho(E)$ e fazer a mudança de variáveis $E = \frac{p^2}{2}$ então: $\Xi(u) = \int p dp\; e^{-ipu} \rho\left(\frac{p^2}{2}\right)$

Se me interesso por $T \to 0$ , posso expandir em série de potências:

$Z = \int du\; e^{-\frac{T u^2}{2}} \Xi(u)$

$= \int du\;\Xi(u) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n T^n u^{2n}}{n!}$ $= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n T^n}{n!} \int du\;\Xi(u) u^{2n}$

$= \int du \;\Xi(u)- \frac{1}{2} T \int du \;\Xi(u) u^2 + \ldots$

Mas $\Xi(u)$ está na forma de uma transformada de Fourier, $\Xi(u) = \int dp\; e^{-ipu} F(p)$ , com $F(p) = p \rho\left(\frac{p^2}{2}\right)$

E então podemos escrever:

$\int du\;\Xi(u) u^{2n} = \int du\,dp\; F(p) e^{-ipu} u^{2n}$ $= \int dp F(p)(-i\partial_p)^{2n}\delta(p) = (-1)^n F^{2n}(0)$

E então:

$Z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ F_{n}}{n!} T^n$

onde $\displaystyle F_{n} = \lim_{p\to 0} \frac{d^{2n}}{dp^{2n}} \left[p \rho\left(\frac{p^2}{2}\right)\right]$

lembrando a definição de $\rho(E)$ :

$\displaystyle F_{n} = \lim_{p\to 0} \frac{d^{2n}}{dp^{2n}} \left[p \sum_{x} \delta\left(\frac{p^2}{2} - E(x)\right)\right]$

parece não chegar em lugar algum porque calcular $\rho(E)$ é tão difícil quando a própria função de partição, então blerghs...

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	<math> \displaystyle F_{n} = \lim_{p\to 0} \frac{d^{2n}}{dp^{2n}} \left[p \sum_{x} \delta\left(\frac{p^2}{2} - E(x)\right)\right]</math>		<math> \displaystyle F_{n} = \lim_{p\to 0} \frac{d^{2n}}{dp^{2n}} \left[p \sum_{x} \delta\left(\frac{p^2}{2} - E(x)\right)\right]</math>
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