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Tópicos de Matemática Aplicada

Resumo das duas primeiras aulas

Nesta disciplina, uma equação a derivadas parciais (EDP) é uma relação entre uma variável dependente real ($u$) e variáveis independentes (duas ou mais) e as derivadas parciais de $u$ com relação às suas variáveis independentes.

Exemplos

$u(t,x)+u_x(t,x)+u_t(t,x)=0$
$\exp(u_x(t,x))-\sin(u(t,x)= 3$

O primeiro exemplo é uma equação linear de primeira ordem. O segundo exemplo é uma equação de primeira ordem as não linear. A ordem de uma EDP é o número de derivadas do termo em $u$ que tem o maior número de derivadas. Se a relação que determina a EDP puder ser escrita como uma soma algébrica de termos $A_1 + A_2 + \cdots + A_k$

e em cada um destes termos $A_i$ aparece apenas $u$ ou uma derivada parcial de $u$ de qualquer ordem multiplicada por um fator que pode ou não depender das variáveis independentes, diremos que esta equação é linear. Nesta disciplinas nos ocuparemso de algumas equações a derivadas parciais lineares que aparecem na matemática aplicada.

Resolver uma EDP é encontrar a relação de $u$ com suas variáveis independentes de modo que se verifique a equação dada. De forma geral existem muitas soluções e além da equação, propriamente dita, são dadas outras condições complementares para a variável $u$ chamadas condições de contorno.

O conjunto das soluções de uma EDP linear homogênea tem a propriedade da linearidade ou superposição: a soma de duas soluções é uma solução e o multiplo por um escalar de uma solução é outra solução.

Equação da corda vibrante

Na segunda aula fizemos a dedução da equação e uma corda vibrante

$\frac{\partial u ^2 }{\partial^2 t} = c^2 \frac{\partial u ^2}{\partial^2 x}$

onde $c=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$ Supondo tensão na corda $T$ e densidade da corda $\rho$ constantes.

Condições de fronteira para a corda vibrante

$u(t,0)=u(t,L)=0$

Soluções de Equações a derivadas parciais

--Patonelli 22h10min de 6 de Março de 2009 (UTC)

Informações administrativas para o primeiro semestre de 2009

Bibliografia:

E Kreysig  Matemática superior 
D G Figueiredo Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais

--Patonelli 14h12min de 16 de Fevereiro de 2009 (UTC)Pedro A Tonelli