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1 Experimento utilizando pêndulo simples

[editar] Experimento utilizando pêndulo simples

Os participantes do grupo são Débora, Diogo, Marcelo e Rafael

[editar] Objetivos da Experiência

O roteiro abaixo consiste de uma simples experiência com pêndulo simples para que se possa identificar as variáveis que influenciam no período de oscilação. Com este aparato é possível também calcular a aceleração gravidade no local onde o experimento é realizado. Faz parte do experimento a compreensão física das expressões envolvidas assim como os cálculos das incertezas que ocorrem nas medições.

[editar] Introdução Teórica

Galileu Galilei desenvolveu os primeiros estudos sistemáticos do movimento uniformemente acelerado e do movimento do pêndulo.

Galileu Galilei
Descobriu a lei dos corpos e enunciou o princípio da inércia e o conceito de referencial inercial, ideias precursoras da mecânica newtoniana. O físico desenvolveu ainda vários instrumentos como o relógio de pêndulo.

O pêndulo simples consiste num fio, considerado inextensível, tendo uma de suas extremidades fixada num certo ponto, e a outra com uma massa concentrada. Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo realizará oscilações em torno do eixo de rotação sob ação da gravidade. Perceba que além da força peso há a tração aplicada da corda na massa em questão.

Seu movimento representa, portanto, um movimento oscilatório, de modo que haja uma periodicidade, que é o tempo para realizar uma oscilação. Para pequenos deslocamentos, ou seja, para valores pequenos do ângulo de abertura (ângulo entre a vertical e o fio inextensível), a força resultante é proporcional ao deslocamento, porém de sentido oposto. Tal característica representa o movimento harmônico simples, daí, portanto pode se deduzir a fórmula do período do movimento.

Para facilitar, escolhe-se um sistema de referência com um dos eixos tangencial à trajetória do pêndulo e o outro perpendicular, ou seja, está na direção radial. Decompondo a força peso P, será obtido uma componente radial ${mgcos\theta}$ e outra tangencial $mgsen\theta$ . A direção radial da força resultante é a força centrípeta necessária para manter a massa na ponta do fio na trajetória circular. Já na direção tangencial, a força é restauradora e faz com que a massa tende a retornar à posição de equilíbrio. Esta força restauradora é dada por ${F=-mgsen\theta}$

Para ângulos muito pequenos, $\sin\theta \simeq \theta\,$ , para o ângulo medido em radianos.

Assim ${F = mg\theta}$

Pela segunda Lei de Newton: ${md^2\theta\over dt^2}=-{mg} \theta.$

pêndulo simples

Como ${\theta}={x\over L}$ ${d^2x\over dt^2} = -{mgx\over L}$

O termo ${mg\over L}$ da expressão acima é constante e desempenha o mesmo papel da constante ${k}$ usada no cálculo da velocidade angular de um movimento harmônico. Desta maneira:

${\omega} = {\sqrt{k\over m}} = {\sqrt{mg\over Lm}}$

Sabemos que a velocidade angular pode ser expressa também por:

${{\omega} = {2\pi\over T}}$

Igualando as duas expressões logo acima, obtém se o período de oscilação do pêndulo:

$T = {2\pi\sqrt{L\over g}}$

Sendo conhecido o período de oscilação e o comprimento do fio, basta isolar g para que possa calculá-lo:

$g = {4\pi^2L\over T^2}$

[editar] Relação dos Materiais

Bolinhas do pêndulo com as seguintes massas:
- 10g
- 33g
- 50g
Fio inextensível
Cronômetro
Trena

Materiais

[editar] Descrição Experimental

O experimento do pêndulo simples consistirá em quatro procedimentos para verificação dos parâmetros que influenciam o período de oscilação (T) e o cálculo da aceleração da gravidade.

No primeiro procedimento, será observado se o período de oscilação depende do ângulo inicial. Utilizando uma bolinha de qualquer uma das massas e um fio com 65,5 cm de comprimento, deve se adotar ângulos iniciais de 5°, 10°, 15°, 20° e 30°. Meça com um cronômetro o tempo gasto de dez oscilações, obtendo o período de uma única oscilação utilizando o cálculo de média simples. Com os dados obtidos construa uma tabela (1) e um gráfico (1) de Tx $\theta$ onde $\theta$ é o ângulo de amplitude inicial. A partir dos dados, é possível calcular a incerteza ( $\sigma_m$ ) de cada medida obtida, o valor médio ( $T_m$ ) de oscilação e sua respectiva incerteza ( $\sigma_{media}$ ).

No segundo procedimento, será verificado se o período de oscilação do pêndulo depende da massa do corpo, no caso a bolinha. Adotando um ângulo inicial de amplitude de 10° e um fio com 65,5 cm de comprimento, utiliza-se no experimento bolinhas com 10 g, 33 g e 50 g. Realizando o mesmo método anterior para obter o período médio de oscilação de cada situação, obtém-se novamente o período de uma oscilação (com a ajuda de um cronômetro). Construa uma tabela (2) com os dados e um gráfico (2) de TxM, onde M é a massa de cada bolinha. Com os dados obtidos, calcula-se a incerteza de cada medida de período ( $\sigma_m$ ), o tempo médio de uma oscilação ( $T_m$ ) e sua respectiva incerteza ( $\sigma_{media}$ ).

No terceiro procedimento, será analisada a dependência do período de oscilação com o comprimento do fio. Utilizando uma das bolinhas e adotando um ângulo inicial de amplitude de 10°, muda-se o comprimento do fio em 30cm, 60cm e 90cm e execute o mesmo processo anterior para encontrar o período médio para cada uma das situações. Com os valores, monta-se outra tabela (3) e um respectivo gráfico, mas desta vez o gráfico não é de TxL e sim um de T²xL, pois assim, teoricamente, será encontrado uma reta, na qual o valor da aceleração da gravidade é extraído do coeficiente angular da mesma. Além disso, como das outras vezes, calcula-se as incertezas das medidas ( $\sigma_m$ ), o valor do período médio ( $T_m$ ) de uma oscilação e sua incerteza ( $\sigma_{media}$ ).

O último procedimento é feito apenas para a determinação do valor da aceleração da gravidade através da expressão matemática apresentada anteriormente. Então usou-se novamente uma bolinha qualquer, um ângulo de amplitude de 10° e um fio com 50 cm de comprimento. Com a ajuda do cronômetro se faz a medida do período (a média calculada como nos outros procedimentos) e por fim o cálculo da aceleração da gravidade.

[editar] Cálculos envolvidos no experimento

Nos procedimentos 1,2 e 3, para o cálculo do período médio usa-se apenas uma média aritmética dos valores de períodos obtidos com a expressão: $T_m = {\dfrac{1}n\sum_{i=1}^n (T_i)}$ , onde n é a quantidade de medidas realizadas.

Para as incertezas das medidas, usa-se a expressão do desvio padrão: $\sigma_m = \sqrt{\dfrac{1} {n-1} \sum_{i=1}^n (T_i - T_m)^2}$

e o desvio padrão da média é calculado com: $\sigma_{media} = {\sigma_m\over n}$

[editar] Obtenção de g através do procedimento 3

Para a determinação de g através do procedimento 3, é preciso ter feito o gráfico proposto anteriormente, que no caso é uma reta.

Analisando a expressão $T^2 = \dfrac{4\pi^2} {g} L$ , observa-se que T² possui uma relação linear com L, no qual $4\pi^2\over g$ é o coeficiente da reta estudada. Graficamente, o coeficiente angular é calculado por: $a = {{T^2_f - T^2_i}\over {L_f - L_i}}$

Manipulando algebricamente, g é dado por: $g = 4\pi^2 \dfrac {(L_f - L_i)} {(T^2_f - T^2_i)}$

[editar] Obtenção de g através do procedimento 4

Para a determinação de g, basta trabalhar algebricamente a expressão do período, obtendo:

$g = 4\pi^2 \dfrac{L}T^2$

[editar] Observações

Com a construção dos três gráficos propostos percebe-se que para diversos ângulos de oscilações, os períodos obtidos são bem próximos, logo, a aproximação para ângulos pequenos é válida para valores até 30°. Variando a massa do corpo preso ao fio do pêndulo é possível perceber pela construção dos gráficos e tabelas que o período pouco varia, ilustrando a independência do período com relação à massa. Já utilizando diferentes comprimentos de fios, observa-se a variação que este possui com o período.

Este experimento é interessante, pois é possível calcular g no local do experimento utilizando uma aparelhagem simples e não envolve cálculos muito difíceis.

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 Os participantes do grupo são Débora, Diogo, Marcelo e Rafael
 === Objetivos da Experiência ===
-O roteiro abaixo consiste de uma simples experiência com pêndulo simples para que se possa identificar as variáveis que influenciam no período de oscilação. Com este aparato é possível também calcular a aceleração gravidade no local onde o experimento é realizado. Faz parte do experimento a compreensão física das expressões envolvidas assim como os cálculos das incertezas que ocorrem nas medições.
+O roteiro abaixo consiste de uma simples experiência com pêndulo simples para que se possa identificar as variáveis que influenciam no período de oscilação. Com este aparato é possível também calcular a aceleração gravidade no local onde o experimento é realizado. Faz parte do experimento a compreensão física das expressões envolvidas assim como os cálculos das [[:pt:incerteza|incertezas]] que ocorrem nas medições.
 === Introdução Teórica ===
+[[:pt:Galileu Galilei|Galileu Galilei]] desenvolveu os primeiros estudos sistemáticos do movimento uniformemente acelerado e do movimento do pêndulo. [[Arquivo:Galileo.jpg|thumb|right|'''Galileu Galilei'''<br/>Descobriu a lei dos corpos e enunciou o princípio da inércia e o conceito de referencial inercial, ideias precursoras da mecânica newtoniana.
+O físico desenvolveu ainda vários instrumentos como o relógio de pêndulo.]]
+O pêndulo simples consiste num fio, considerado inextensível, tendo uma de suas extremidades fixada num certo ponto, e a outra com uma massa concentrada. Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo realizará oscilações em torno do eixo de rotação sob ação da [[:pt:gravidade|gravidade]]. Perceba que além da [[:pt:força peso|força peso]] há a tração aplicada da corda na massa em questão.
-O pêndulo simples consiste num fio, considerado inextensível, tendo uma de suas extremidades fixada num certo ponto, e a outra com uma massa concentrada. Quando afastado de sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo realizará oscilações em torno do eixo de rotação sob ação da gravidade. Perceba que além da força peso há a tração aplicada da corda na massa em questão.
 	Seu movimento representa, portanto, um movimento oscilatório, de modo que haja uma periodicidade, que é o tempo para realizar uma oscilação.
-	Para pequenos deslocamentos, ou seja, para valores pequenos do ângulo de abertura (ângulo entre a vertical e o fio inextensível), a força resultante é proporcional ao deslocamento, porém de sentido oposto. Tal característica representa o movimento harmônico simples, daí, portanto pode se deduzir a fórmula do período do movimento.
+	Para pequenos deslocamentos, ou seja, para valores pequenos do ângulo de abertura (ângulo entre a vertical e o fio inextensível), a força resultante é proporcional ao deslocamento, porém de sentido oposto. Tal característica representa o [[:pt:MHS|movimento harmônico simples]], daí, portanto pode se deduzir a fórmula do [[:pt:período|período]] do movimento.
 Para facilitar, escolhe-se um sistema de referência com um dos eixos tangencial à trajetória do pêndulo e o outro perpendicular, ou seja, está na direção radial.
 Decompondo a força peso P, será obtido uma componente radial <math>{mgcos\theta}</math> e outra tangencial <math>mgsen\theta</math>.
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 Para ângulos muito pequenos, <math>\sin\theta \simeq \theta\,</math>, para o ângulo medido em radianos.
 Assim      <math>{F = mg\theta}</math>
-Pela segunda Lei de Newton: <math>{md^2\theta\over dt^2}=-{mg} \theta. </math>
+Pela segunda Lei de Newton: <math>{md^2\theta\over dt^2}=-{mg} \theta. </math>               [[Arquivo:pendulo1.gif|thumb|right|pêndulo simples]]
 Como <math>{\theta}={x\over L}</math>
 <math>{d^2x\over dt^2} = -{mgx\over L}</math>
-O termo <math>{mg\over L}</math> da expressão acima é constante e desempenha o mesmo papel da constante <math>{k}</math> usada no cálculo da velocidade angular de um movimento harmônico.
+O termo <math>{mg\over L}</math> da expressão acima é constante e desempenha o mesmo papel da constante <math>{k}</math> usada no cálculo da [[:pt:Velocidade angular|velocidade angular]] de um movimento harmônico.
 Desta maneira:
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 Igualando as duas expressões logo acima, obtém se o período de oscilação do pêndulo:
-<math>T = {2\pi\sqrt{l\over g}}</math>
+<math>T = {2\pi\sqrt{L\over g}}</math>
 Sendo conhecido o período de oscilação e o comprimento do fio, basta isolar g para que possa calculá-lo:
-<math>g = 4\{pi²}L{\over {T²}}</math>
+<math>g = {4\pi^2L\over T^2}</math>
+===Relação dos Materiais===
+#Bolinhas do pêndulo com as seguintes massas:
+#*10g
+#*33g
+#*50g
+#Fio inextensível
+#Cronômetro
+#Trena
+<gallery>
+Arquivo:pêndulo.jpg|Materiais
+                                                      Arquivo:trena.jpg
+                                                     Arquivo:cronometro.jpg
+                                                    </gallery>
+===Descrição Experimental===
+O experimento do pêndulo simples consistirá em quatro procedimentos para verificação dos parâmetros que influenciam o período de oscilação (T) e o cálculo da aceleração da gravidade.
+No primeiro procedimento, será observado se o período de oscilação depende do ângulo inicial. Utilizando uma bolinha de qualquer uma das massas e um fio com 65,5 cm de comprimento, deve se adotar ângulos iniciais de 5°, 10°, 15°, 20° e 30°. Meça com um cronômetro o tempo gasto de dez oscilações, obtendo o período de uma única oscilação utilizando o cálculo de média simples. Com os dados obtidos construa  uma tabela (1) e um gráfico (1) de Tx <math>\theta</math> onde <math>\theta</math> é o ângulo de amplitude inicial. A partir dos dados, é possível calcular a incerteza (<math>\sigma_m</math>) de cada medida obtida, o valor médio (<math>T_m</math>) de oscilação e sua respectiva incerteza (<math>\sigma_{media}</math>).
+No segundo procedimento, será verificado se o período de oscilação do pêndulo depende da massa do corpo, no caso a bolinha. Adotando um ângulo inicial de amplitude de 10° e um fio com 65,5 cm de comprimento, utiliza-se no experimento bolinhas com 10 g, 33 g e 50 g. Realizando o mesmo método anterior para obter o período médio de oscilação de cada situação, obtém-se novamente o período de uma oscilação (com a ajuda de um cronômetro). Construa uma tabela (2)  com os dados e um gráfico (2) de TxM, onde M é a massa de cada bolinha. Com os dados obtidos, calcula-se a incerteza de cada medida de período (<math>\sigma_m</math>), o tempo médio de uma oscilação (<math>T_m</math>) e sua respectiva incerteza (<math>\sigma_{media}</math>).
+No terceiro procedimento, será analisada a dependência do período de oscilação com o comprimento do fio. Utilizando  uma das bolinhas e adotando um ângulo inicial de amplitude de 10°, muda-se o comprimento do fio em 30cm, 60cm e 90cm e execute o mesmo processo anterior para encontrar o período médio para cada uma das situações. Com os valores, monta-se outra tabela (3) e um respectivo gráfico, mas desta vez o gráfico não é de TxL e sim um de T²xL,  pois assim, teoricamente, será encontrado uma reta, na qual o valor da aceleração da  gravidade é extraído do coeficiente angular da mesma. Além disso, como das outras vezes, calcula-se as incertezas das medidas (<math>\sigma_m</math>), o valor do período médio (<math>T_m</math>) de uma oscilação e sua incerteza (<math>\sigma_{media}</math>).
+O último procedimento é feito apenas para a determinação do valor da aceleração da gravidade através da expressão matemática apresentada anteriormente. Então usou-se novamente uma bolinha qualquer, um ângulo de amplitude de 10° e um fio com 50 cm de comprimento. Com a ajuda do cronômetro se faz a medida do período (a média calculada como nos outros procedimentos) e por fim o cálculo da aceleração da gravidade.
+=== Cálculos envolvidos no experimento ===
+Nos procedimentos 1,2 e 3, para o cálculo do período médio usa-se apenas uma média aritmética dos valores de períodos obtidos com a expressão:
+<math>T_m = {\dfrac{1}n\sum_{i=1}^n (T_i)}</math>, onde n é a quantidade de medidas realizadas.
+Para as incertezas das medidas, usa-se a expressão do [[:pt:desvio padrão|desvio padrão]]:
+<math>\sigma_m = \sqrt{\dfrac{1} {n-1} \sum_{i=1}^n (T_i - T_m)^2}</math>
+e o desvio padrão da média é calculado com: <math>\sigma_{media} = {\sigma_m\over n}</math>
+==== Obtenção de g através do procedimento 3 ====
+Para a determinação de g através do procedimento 3, é preciso ter feito o gráfico proposto anteriormente, que no caso é uma reta.
+Analisando a expressão <math>T^2 = \dfrac{4\pi^2} {g} L</math>, observa-se que T² possui uma relação linear com L, no qual  <math>4\pi^2\over g</math> é o coeficiente da reta estudada.
+Graficamente, o coeficiente angular é calculado por:
+<math>a = {{T^2_f - T^2_i}\over {L_f - L_i}}</math>
+Manipulando algebricamente, g é dado por:
+<math>g = 4\pi^2 \dfrac {(L_f - L_i)} {(T^2_f - T^2_i)}</math>
+==== Obtenção de g através do procedimento 4 ====
+Para a determinação de g, basta trabalhar algebricamente a expressão do período, obtendo:
+<math>g = 4\pi^2 \dfrac{L}T^2</math>
+=== Observações ===
+Com a construção dos três gráficos propostos percebe-se que para diversos ângulos de oscilações, os períodos obtidos são bem próximos, logo, a aproximação para ângulos pequenos é válida para valores até 30°. Variando a massa do corpo preso ao fio do pêndulo é possível perceber pela construção dos gráficos e tabelas que o período pouco varia, ilustrando a independência do período com relação à massa. Já utilizando diferentes comprimentos de fios, observa-se  a variação que este possui com o período.
-===Descrição dos Materiais===
+Este experimento é interessante, pois é possível calcular g no local do experimento utilizando uma aparelhagem simples e não envolve cálculos muito difíceis.

Mudanças entre as edições de "Fap0459/textos/grupo Marcelo/Debora/Rafael/Diogo"

Edição atual tal como às 20h45min de 11 de setembro de 2009

Conteúdo

[editar] Experimento utilizando pêndulo simples

[editar] Objetivos da Experiência

[editar] Introdução Teórica

[editar] Relação dos Materiais

[editar] Descrição Experimental

[editar] Cálculos envolvidos no experimento

[editar] Obtenção de g através do procedimento 3

[editar] Obtenção de g através do procedimento 4

[editar] Observações

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